請問”尤拉線方程式”怎麼算?有何用途?

Question

如題

Answer 1

尤拉線首先提出三角形內的外心、重心、垂心在一直線上，此線稱為尤拉線。 尤拉定理在一封閉的多面體內，其頂角數 v，邊數 e 和面數 f 有一個關係式：v ＋ f － e ＝ 2，此稱尤拉定理。 數學符號許多現在我們習用的數學符號都出自尤拉的首創：１、以 f ( x ) 表示函數符號 ２、以 Σ 表示求和符號 ３、以 e 表示自然對數底 ４、以 i 表示虛數單位 ５、以 a、b、c 表示 △ABC 之三邊長 ６、以 S 表示三角形之半周長尤拉公式尤拉公式 eix ＝ cos x + i sin x 是複數的一個重要公式。 尤拉趣聞尤拉有驚人的記憶力。有一晚他睡不著覺，就在腦中計算了 1～100 的 6 次方，幾天以後還記得整個表。他數值計算能力之高可由他反證了費瑪的一個猜測看出，費瑪說，有形如 的數都是質數；尤拉在1732年說：「不對」。 是 4 , 294 , 967 , 297 它可分解成 6 , 700 , 417 乘上 641。 有關π尤拉導出的 π 的平方的許多公式。 平方倒數之級數 ( 1 / 1² ) + ( 1 / 2² ) + ( 1 / 3² ) + …　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)困擾數學家有幾十年之久。萊比尼茲，微積分的共同發明人，就想不出方法求它的和。傑可士伯努利一世，證明了它是收斂的，但也求不出和來。但尤拉在1736年衝破難關。牛頓早已知道級數sin x ＝ x - ( x³ / 3! ) + ( x5 / 5! ) - ( x7 / 7! ) + …　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　(2) 尤拉以 x² ＝ y代入，把方程式sin x ＝ 0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(3)看成一個無限次的方程式，當 y ≠ 0 而得出1 - ( y / 3! ) + ( y² / 5! ) - ( y³ / 7! ) + … ＝ 0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)但是方程式 (3) 的根是 0、± π、± 2π、± 3π、…，所以方程式 (4) 的根是 π²、( 2π )²、( 3π )²、… ( 0 要刪去 )，由高等代數中的方程式論可知一次項係數之負數是方程式的根之倒數和，所以( 1 / π² ) + ( 1 / 4π² ) + ( 1 / 9π² ) + … ＝ 1 / 3! 或 ( 1 / 1² ) + ( 1 / 2² ) + ( 1 / 3² ) + … ＝ ( π² / 6 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)這不僅一舉掃光了其他人的煩惱，還額外得到 π² 的級數表示。尤拉當然不會就此打住，利用餘弦的級數重複以上步驟，他發現了( π² / 8 ) ＝ ( 1 / 1² ) + ( 1 / 3² ) + ( 1 / 5² ) + …　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(6)由 (5) 式減去 (6) 式的兩倍，他得出 ( π² / 12 ) ＝ ( 1 / 1² ) - ( 1 / 2² ) + ( 1 / 3² ) - ( 1 / 4² ) + …　　　　　　　　　　　　　　　　(7)把這推廣到任意偶次方的倒數和，即考慮由 1 / J2k ( J ＝ 1、2、3、… ) 組成的級數，尤拉發現一個和伯努利數有關的一般公式，並寫出特別情況，從( 1 / 14 ) + ( 1 / 24 ) + ( 1 / 34 ) + … ＝ 22 π4 / 5!‧3 　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)直到( 1 / 126 ) + ( 1 / 226 ) + ( 1 / 326 ) + … ＝ 224‧76977927‧π26 / 27! 　　　　 　　　 　 　(9)為了計算 π 的對數，尤拉找到了，π 的偶次方的無限乘積，譬如 ( π² / 6 ) ＝ ( 2² / 2² - 1 )‧( 3² / 3² - 1 )‧( 5² / 5² - 1 ) ‧( 7² / 7² - 1 ) …　　　　　　　　　 　(10)尤拉導出了公式arctan ( 1 / p ) ＝ arctan ( 1 / p + q ) + arctan ( q / p² + q + 1 )　　　　　　　　　　　　　　　(11)及arctan ( x / y ) ＝ arctan ( ax - y / ay - x ) + arctan ( b - a / ab + 1 ) + arctan ( c - b / cb + 1 ) + … 　(12)這可以給我們無數個 π 的關係式，要多少有多少。譬如說，a、b、c … 以奇數代入，則得π / 4 ＝ arctan ( 1 / 2 ) + arctan ( 1 / 8 ) + arctan ( 1 / 18 ) + …　　　　　　　　　　　　　　(13)這些公式都是反正切的級數，尤拉從其中找到一些比其他的收斂更快的，即 arctan x ＝ ( y / x )〔 1 + ( 2 / 3 ) y + ( 2‧4 / 3‧5 ) y² + ( 2‧4‧6 / 3‧5‧7 ) y³ + …〕　　　(14)其中 y ＝ x² / ( 1 + x² )利用如下形式的 Machin 的妙招 π ＝ 20 arctan ( 1 / 7 ) + 8 arctan ( 3 / 79 ) (15)其中兩個項用 (14) 求值，尤拉在一個小時內算出了 π 到 20 位小數。這只是尤拉所發現的 π 的許多表示方法中的幾個例子罷了。由於尤拉處理這些與 π 相關的問題非常詳盡，日後就沒有人算出比他還更精確的數值來，在 π 的歷史上，如果只就其數值估計而言，他的結果可算是空前絕後了。連分數尤拉也導出了以下的連分數，而為後來研究 π 的無理性以及超越性的人奠下根基：　　　　( 雙曲正切 ) 　　曲面論在1760年尤拉建立了曲面論，這是他在微分幾何這一方面最大的貢獻。他提出曲面二主曲率 k1、k2： 令曲面為 z ＝ f ( x，y )，規定首先求出平面任意切曲面所得曲線的曲率半徑。然後令該平面為過一法線的平面，所得曲線稱為法線段，再後令該平面為過法線且與 xy 平面垂直，所得曲線稱為主法線段。當法線段的平面與主法線段平面成角度 φ 時，法線段的曲率半徑為 1 / ( L + Mcos2φ + Nsin2 φ )，其中 L、M、N 為 x、y 之函數。設最大和最小法線段的曲率分別為 k1、k2，則 k1、k2 為 tan2 φ ＝ N / M 的二根，k1 － k2=90°，即為互相垂直的法線段平面。稱該對應二曲率 k1、k2 為二主曲率。若一法線段 k1 與 k2 法線段夾角為 a，則 k ＝ k1cos²α +k2sin²α。曲面論主要為了解決可展面問題 (如何將曲面不歪曲地展成平面 ) 而引起。尤拉證得：曲面 x = x ( t , u )，y = y ( t , u )，z = z ( t , u ) 為可展面的充要條件是：l² + m² + n² ＝ 1 , a² + b² + c² ＝ 1 , la + mb + nc ＝ 0，其中費馬大問題費馬最後問題 ( 又稱費馬大問題 )：xn + yn ＝ zn，n ≧ 3 時，沒有正整數解。尤拉證得當 n ＝ 3和 n ＝ 4 時，費馬的大問題是正確的。 週期簡連分式尤拉發現任一個二次無理數，a + √b，a，b 為有理數，都可以表示成週期簡連分式。如 尤拉常數γ尤拉常數γ是怎麼來的呢？他考慮 log ( 1 + 1 / x ) ＝ ( 1 / x ) - ( 1 / 2x² ) + ( 1 / 3x³ ) - ( 1 / 4x4 ) + … 得 1 / x ＝ log ( x + 1 / x ) + ( 1 / 2x² ) + ( 1 / 3x³ ) + ( 1 / 4x4 ) - …上式中令 x ＝ 1、2、3、…，n得1 / 1 ＝ log2 + ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) + ( 1 / 4 ) - ( 1 / 5 ) + …1 / 2 ＝ log ( 3 / 2 ) + ( 1 / 2‧4 ) - ( 1 / 3‧8 ) + ( 1 / 4‧16 ) - ( 1 / 5‧32 ) + …1 / 3 ＝ log ( 4 / 3 ) + ( 1 / 2‧9 ) - ( 1 / 3‧27 ) + ( 1 / 4‧81 ) - ( 1 / 5‧243 ) + …：1 / n ＝ log〔 ( n + 1 ) / n 〕+ ( 1 / 2n² ) - ( 1 / 3n³ ) + ( 1 / 4n4 ) - ( 1 / 5n5 ) + …兩邊相加得 1 + ( 1 / 2 ) + ( 1 / 3 ) + … + ( 1 / n ) ＝ log ( n + 1 ) + ( 1 / 2 ) ( 1+ 1 / 4 + 1 / 9 + … + 1 / n² ) - ( 1 / 3 ) ( 1 + 1 / 8 + 1 / 27 + … + 1 / n³ ) + ( 1 / 4 ) ( 1 + 1 / 16 + 1 / 81 + … + 1 / n4 ) + …… 設γ＝ ( 1 / 2 ) ( 1 + 1 / 4 + 1 / 9 + … + 1 / n² ) - ( 1 / 3 ) ( 1 + 1 / 8 + 1 / 27 + … + 1 / n³ ) + ( 1 / 4 ) ( 1 + 1 / 16 + 1 / 81 + … + 1 / n4 ) + ……，n → ∞ 則γ＝ 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n - log ( n - 1 ) ，n → ∞ 利用規定γ＝ 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n - log n ，n → ∞ 尤拉算得的尤拉常數γ近似值為 0.577218。到今天我們還不知道γ為有理數或無理數。尤拉解微分方程式 y" + k²y ＝ z ( x ) 來折算木星和土星互相間的擾亂，得法國科學院獎。 微分方程尤拉在1728年研究單擺在有抵抗力媒介體上運動，或一拋射體在空氣中運動時，得二階微分方程式： ( dy / dx )p-2 ( d2y / dx2 ) ＝ ( axm / yn ) ( a )尤拉解 ( a ) 時，利用變換變數 y ＝ ev t ( v )，x ＝ eαv ( b ) 其中 α 為待定常數。由 ( b ) 算出 ( dy / dx )、( d²y / dx² ) 代入 ( a ) 得 t 對 v 的二次微分方程式。令 α 使得其中指數項可去掉，再利用 z ＝ ( dv / dt )，可將二階微分方程式降為一階微分方程式。本法首創用指數函數做變換變數，大為刺激二階微分方程的研究。函數定義尤拉在1755年定義：若 y 量隨著 x 量之變而變時，稱 y 為 x 的函數。 變分學尤拉對變分學的貢獻： 尤拉極小化 J：得 y ( x ) 滿足微分方程式fy － ( d / dx ) ( fy' ) ＝ 0利用鏈法則得 fy － fy'x－fy'y y′－fy'y' y〞＝ 0這兩個非二階線性常微分方程式，是變分學基本微分方程式。尤拉考慮平面上兩固定點 Po ( xo , yo )、P1 ( x1 , y1 )。y ( x ) 為 Po 到 P1 的一曲線。y ( x ) 繞 x 軸旋轉。問得最小旋轉面時的 y ( x ) 為何？這問題是極小化 A：尤拉證得當 y ＝ f ( x ) 為垂鍊線弧 ( Catenary ) 時，旋轉面最小。尤拉證法是幾何與分析合用。 參考資料yahoo

Answer 2

沒什麼用
我覺得 翱翔╭☆說的不太對
有的時候有些產業、工作也還是會用到他們需要用的數學公式或數學的一些方法。來當作他們吃飯的工具之一。

而我個人覺得嗎
日常生活中主要會～加減乘除～就ｏｋ了。要不然再大不了你會個《等差、等比級數+ｌｏｇ的運算》來算算大筆投資的花費、＂定存＂一筆錢後過多久會有多少錢、借了一筆錢的循環利息過多久後會有多少錢。而讓自己大概知道錢要如何使用。

Answer 3

不是用不到,是你不會用