數學題 有難度(2)

Question

最大整數 可整除 p^4 - 1的是多少?
(p為大於5的質數)

a) 12
b) 30
c) 48
d) 120
e) 240

Answer 1

P^4-1 = (p^2+1)(p^2-1) = (p^2+1)(p+1)(p-1)

i)
因為P是奇數=>除以4不是餘1就是餘3
p若除以4餘1=>(P^2+1除以4餘2)(p+1除以4餘2)(p-1除以4整除)
=>P^4-1是2*2*4的倍數
p若除以4餘3=>(P^2+1除以4餘2)(p+1除以4整除)(p-1除以4餘2)
=>P^4-1是2*4*2的倍數

因此P^4-1是16的倍數

ii)
p除以3不整除=>餘1或是餘2
p若除以3餘1=>(P^2+1除以3餘2)(p+1除以3餘2)(p-1除以3整除)
=>P^4-1是3的倍數
p若除以3餘2=>(P^2+1除以3餘1)(p+1除以3整除)(p-1除以3餘1)
=>P^4-1是3的倍數

因此P^4-1是3的倍數

iii)
p除以5不整除=>餘1或是餘2或是餘3或是餘4
p若除以5餘1=>(P^2+1除以5餘2)(p+1除以5餘2)(p-1除以5整除)
=>P^4-1是5的倍數
p若除以5餘2=>(P^2+1除以5整除)(p+1除以5餘3)(p-1除以5餘1)
=>P^4-1是5的倍數
p若除以5餘3=>(P^2+1除以5整除)(p+1除以5餘4)(p-1除以5餘2)
=>P^4-1是5的倍數
p若除以5餘4=>(P^2+1除以5餘2)(p+1除以5整除)(p-1除以5餘3)
=>P^4-1是5的倍數

因此P^4-1是5的倍數

綜何(i)(ii)(iii)得知P^4-1是16*3*5的倍數=>P^4-1是240的倍數

Answer 2

因為 p4-1 = (p2+1)(p2-1) = (p2+1)(p+1)(p-1) 故由 (p+1)(p-1) 可知如下：若 p=5 則  (p+1)(p-1) = 24 且 (p2+1) 必為偶數，所以值為 48若 p=7 則  (p+1)(p-1) = 48 且 (p2+1) 必為偶數，所以值為 96若 p=11 則  (p+1)(p-1) = 120 且 (p2+1) 必為偶數，所以值為 240故由上述三者可知，答案為 C