把17和18兩個自然數拆成若干個自然數的和.........

Question

把17和18兩個自然數拆成若干個自然數的和，並分別求這些分拆的自然數的乘積的最大值。

Answer 1

17=>486(3+3+3+3+3+2)
18=>729(3+3+3+3+3+3)

作法:
數字1=>最大值1
數字2=>最大值2
數字3=>最大值3
數字4=>最大值4
數字5=>最大值6
數字6=>最大值9
數字7=>最大值12
數字8=>最大值18
數字9=>最大值27
數字10=>最大值36
......

大家可以發現在超過5以後的數字分開來絕對比原來的數字大
5=>3*2>5
4若拆成2+2乘積將會是2*2=4跟原來相同


所以
若X=(a1+a2+a3+....an)乘積為最大值
a1,...an若有數字超過5的,必定可以分的更細使其乘積更大
=>a1....an是由1,2,3,4組成的數列
很明顯的可以發現a1,...an有1的話,絶對不是最大值
=>a1,...an必定是2,3,4組成的數列
4又可以拆成2+2不影響乘積
=>a1,...an是2,3組成的數列

所以要把X拆成2和3組成的數列,才會出現最大值
若6=3+3=2+2+2
3*3>2*2*2所以儘可能拆成3會比較好

結論,
如果數字是
3K=>拆成(3,3,3,.....,3)乘積會最大(3^K)
3K+1=>(3,3,.....3,2,2)乘積會最大(4x3^(K-1))
3K+2=>(3,3,3....3,2)乘積會最大(2x3^(K))

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17=3*5+2=3+3+3+3+3+2===>乘積為486
18=3*6=3+3+3+3+3+3===>乘積為729