微積分中極限定義

Question

有誰知道微積分中極限(limit of a function at a point)的定義
epsilon-delta (*) 是誰在什麼時候發明的? 感謝!!

* we say lim f(x) = L (x->p)
for every ε > 0 there exists a δ > 0 such that for all real numbers x with 0 < |x-p| < δ, we have |f(x)-L| < ε

謝謝 Random walk大大, 所以 ε-δ是在Newton/Leibniz以後才有的嗎? 如果是, Newton 和 Leibniz對極限或是無限逼近的看法是什麼?

再次謝謝 Random walk大大
我看了您提供的網站 大概了解了一些
他們對極限或是無限逼近的看法是什麼

Answer 1

是德國數學家 Karl Weierstrass (1815-1897) 所定義的.在關於微積分基礎的混沌一片的爭議中，Cauchy看出核心問題是極限。Cauchy的極限概念是基於算術的考慮的，但他在定義中「一個變量無限趨於一個極限」的說法，受到Weierstrass的批評「這種說法不幸的使人們想起時間和運動」。為了消除Bolzano和Cauchy在定義函數連續性和極限中用到的描述性的語言「變為而且保持小於任意給定的量」的不確定性，Weierstrass給出了著名的「ε-N（ε-δ）」定義。「ε-N（ε-δ）」定義第一次使極限和連續性擺脫了與幾何和運動的任何牽連，給出了只建立在數與函數概念上的清晰的定義，從而使一個模糊不清的動態描述，變成為一個嚴密敘述的靜態觀念，這不能不認為是變量數學史上的一次重大創新。今天「ε-N（ε-δ）」語言的精髓已經深入到現代數學的每一根血管,牽動著每一根神經。正因如此，Hilbert認為：「Weierstrass 以其酷愛批判的精神和深邃的洞察力，為數學分析建立了堅實的基礎。通過澄清極小、極大、函數、導數等概念，他排除了在微積分中仍在出現的各種錯誤提法，掃清了關於無窮大、無窮小等各種混亂觀念，決定性地克服了源於無窮大、無窮小朦朧思想的困難。······今天，分析學能達到這樣和諧可靠和完美的程度······本質上應歸功於Weierstrass 的科學活動」。

2005-10-13 14:26:14 補充：
ε-δ是在Newton/Leibniz以後才有的. 其實Newton/Leibniz的時代, 微積分的立論十分不嚴謹. 是經過後來許多數學家的努力, 才有今天的形式. 其中Weierstrass 的ε-δ法, 是關鍵性和基礎性的一步.