代數證明題（有誰能幫幫我......）

Question

求證：三個連續的整數之積能被 6 整除。

Answer 1

這題應該是用數學歸納法吧。
先設三數為 k , k+1 , k+2 (k屬於N)
1.當k=1時，1×2×3=6
6 | 6→→成立
2.令k=n時成立，即令n×(n+1)×(n+2) = n^3 + 3n^2 + 2n = 6q 成立( q屬於N)
3.當k = n+1 時
(n+1)×(n+2)×(n+3) = n^3 + 3n^2 + 2n + 3(n+1)(n+2)
= 6q + 3(n+1)(n+2)
又n+1,n+2為兩連續整數，故必有一偶數
即：3 | 3(n+1)(n+2) 且 2 | 3(n+1)(n+2) →→ 6 | 3(n+1)(n+2)

4.綜合以上結論，推出：當k = n+1時 6 | 6q + 3(n+1)(n+2) 成立
由數學歸納法得知任意k皆成立，得證。

P.S.也有另一種想法，就是任意三連續整數至少有一個2的倍數跟3的倍數(每兩個數有一個2的倍數，每三個數有一個3的倍數)，所以三數可以設為x,2y,3z 乘積為：6xyz，所以 6 | 6xyz，因此假設成立。

Answer 2

C(n,3)為整數
所以n(n-1)(n-2)/3!為整數
所以6 | n(n-1)(n-2)

Answer 3

最佳解答就是楓翼了

Answer 4

6==>分解=2X3
所以說只要有2X3就行ㄌ有6.12.18...ㄉ6ㄉ倍數
例:1X2X3...
6X7X8...
12X13X14...