某學校競試考題

Question

1.三質數的積為三質數和的17倍，則三質數為？

2.有一三位數，其百位數字、十位數字、個位數字的立方和等於該位數，也就是100x+10y+z=x^3+y^3+z^3，則該三位數為何？

謝謝囉。

Answer 1

1.解法：
令三質數為P.S.W,根據題目的條件,我們可以列出下式
P*S*W=17(P+S+W)
因為三者皆為質數,且根據因數性質,我們可得知一質數為17,令17為P
所以得到17*SW=17(17+S+W)
化簡得SW=17+S+W
改寫得S（W-1）=17+W
二式同除以（W-1）得S=1+[18/（W-1）]
因為S為整數,故W-1必為18的正因數,再根據質數,故只有一解,就是S=19,W=2
所以此題的答案為2,17,19

2.解法：
由你的原式可推出（X+10）（10-X）=Y（Y^2-10）/X+Z（Z+1）（Z-1）/X
若X用1代時,同時根據整數性質,可找到一組解—153.
(若還有其他解也歡迎提供)