有人能解釋一下為什麼會這樣嗎

Question

最近我一直在問有關於球心與空間中不共線4點關係
結果我們班的一個高手給了我一個很快的辦法

A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),D(1,1,2)
求到空間中不共線4點等距之點
設其球心(a/2,b/2,c/2)
A(1,1,0)
座標平方和=1^2+1^2+0^2=2
B(1,0,1)
座標平方和=1^2+0^2+1^2=2
C(0,1,1)
座標平方和=0^2+1^2+1^2=2
D(1,1,2)
座標平方和=1^2+1^2+2^2=6

將X座標當成a,Y座標當成b,Z座標當成c

A座標-B座標
b-c=0
B座標-C座標
a-b=0
A座標-C座標
-2c=-4

得到c=2,b=2,a=2

然後其球心(a/2,b/2,c/2)

所以(1,1,1)到以上4點等距離

但是他也不知道為什麼會這樣算

有人能告訴我為什麼

然後舉一個數字大一點的題目嗎
謝謝

將X座標當成a,Y座標當成b,Z座標當成c
A(1,1,0) =>(1a,1b,0c)
座標平方和=1^2+1^2+0^2=2
B(1,0,1) =>(1a,0b,1c)
座標平方和=1^2+0^2+1^2=2
C(0,1,1) =>(0a,1b,1c)
座標平方和=0^2+1^2+1^2=2
D(1,1,2) =>(1a,1b,2c)
座標平方和=1^2+1^2+2^2=6

A座標-B座標
{(1a,1b,0c)-(1a,0b,1c) }=A座標平方和-B座標平方和
b-c=0
B座標-C座標
{(1a,0b,1c)-(0a,1b,1c) }=B座標平方和-C座標平方和
a-b=0
C座標-D座標
{(0a,1b,1c)-(1a,1b,2c) }=C座標平方和-D座標平方和
-2c=-4

大概就這樣,至於為什麼會等於,我也不知道
只知道這種方法算起來很神而已

Answer 1

先用最原始的方式來假設，令球心為 (x, y ,z)。
根據定義，r^2 = (x - i)^2 + (y - j)^2 + (z - k)^2
其中的 r 就是球半徑。(i, j, k)請分別代入A, B, C, D四個點的各座標值。
先整理：r^2 = (x - i)^2 + (y - j)^2 + (z - k)^2
= (x^2 + y^2 + z^2) + (i^2 + j^2 + k^2) - 2( ix + jy + kz)
因為解三個未知數，故我們至少要用三個方程式：
把A, B兩點代入使之相等，可得第一個方程式，我們觀察：
以 A點座標代入的 (x^2 + y^2 + z^2) + (i^2 + j^2 + k^2) - 2( ix + jy + kz)
= 以 B點座標代入的 (x^2 + y^2 + z^2) + (i^2 + j^2 + k^2) - 2( ix + jy + kz)
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(x^2 + y^2 + z^2) 不論是A, B哪一點代入都一樣，故會被消去，
(i^2 + j^2 + k^2) 則是兩點分別的平方和。
- 2( ix + jy + kz) 是對應的 x, y, z 各座標。
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再加以整理、移項後可得：
以 A點座標代入的(i^2 + j^2 + k^2) - 以 B點座標代入的(i^2 + j^2 + k^2)
= A點座標代入的 2( ix + jy + kz) - B點座標代入的 2( ix + jy + kz)
代入這一題的數值就是：
1^2+1^2+0^2 (=2) - 1^2+0^2+1^2 (=2) = 2 [(1 -1)x + (1 - 0)y + (0-1)z ]
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得到第一個式子之後，再同樣算 B, C之差、C, D之差，
可得第二、三個方程式。
然後去解這三個聯立方程式便可得到 x, y, z的值，即可算出圓心。
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因右式中有個 2倍，故該法是技巧性的把 x, y, z 值設為 a/2, b/2, c/2
不過，得出來的答案，還需要再除以 2。
所以呢，無論原來假設圓心是 (x, y, z)或是 (a/2, b/2, c/2)都是可以的，
只要計算過程中，別漏掉那個 2倍，跟最後求答時，別忘了除以 2，
所算出來的都是同一個座標。
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最後，我想試著用另一種觀念來帶你解這樣的一個題目：
先考慮 平面座標上有三個點ABC，如何求其內心座標？
方法是先找出A, B、B,C、C,A其中兩條線的中垂線，再求其交點，
就能得到內心。
同樣的，空間中，我們可以求三個 兩點的中垂"面"，
每個面的方程式會是 ax + by + cz = d 的形式。
三個中垂面的交點，就會是 通過四點 A, B, C, D的球之球心了。
至於如何求 中垂面呢？其實跟 中垂線的求法很類似，以AB兩點為例：
A(1,1,0),B(1,0,1) ，兩點之差是 (0, -1, 1)，兩點中點是 (1, 1/2, 1/2)
於是可得 0x - y + z = 0×1 - 1/2 + 1/2 = 0。
再把 B, C， C, D 兩個中垂面求出來，就有另兩個方程式。
解聯立方程式，其解就是圓心的座標了。
而這三個方程式跟你原來的方程式結果會很像，只是有 2倍之差。
但是呢，這方法，你不用去記那看起來很奇怪的步驟。
你只要記得平面座標透過中垂線求內心的方式去類推，應該會比較好記~
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最後要說的是：原理與過程，我都在上面說明了。
如果你看懂了，相信不用我實際去代數字，也可以知道這是必然的~
但是如果還是看不懂，你只是代另一組數字去做檢驗，
我只能說這是最不肯定的驗証方法，因為誰知道，
你代了這一組數字進去是合的，下一組誰能保証它一定合呢？

2005-10-04 10:35:55 補充：
哈，謝謝你的提醒，中垂線的交點是外心。角平分線的交點才是內心。

2005-10-05 11:47:56 補充：
謝謝你的高度評價，
原回答中，有把外心誤寫為內心~
感謝克勞棣的指正。
不過我並沒有修改原答，是希望保留
原討論的過程。
看這題的人，如果把意見也看過了，
應該能夠自己修正我的錯誤，
這是我沒有修正我的回答的理由 ^^

Answer 2

謝謝你們的意見

Answer 3

將X座標當成a,Y座標當成b,Z座標當成c

A座標-B座標
b-c=0
B座標-C座標
a-b=0
A座標-C座標
-2c=-4
這是什麼意思？能解釋清楚一點嗎？
(b-c),(a-b),-2c怎麼來的？

2005-10-03 20:58:02 補充：
中垂線的交點是內心？