同除餘數的問題

Question

ｎ為自然數　設ｎ除以７餘２　除以１１餘４　則ｎ之最小值為？？
又若ｎ為　三位正整數時　則有？？個

答案是：最小為３７　　有１２個

請跟我說一下怎麼算的　附上計算過程和解釋

Answer 1

根據題意列式：
N÷7=A….2 A假設為此處的商
N÷11=B….4 B假設為此處的商
則
N-2=7A
N-4=11B
看到此處似乎沒有相同點，但請將它擴大看之

將N-2累加上7得 N+5, N+12, N+19, N+26 ,N+33, N+40
都是7A的倍數，也就是可以被7整除。
將N-4累加上11得 N+7, N+18, N+29, N+40
都是11B的倍數，也就是可以被11整除。
由上可知N+40是7與11的共同倍數，也就是公倍數，最小公倍數是77
因此
N+40=(7,11)=77 N=77-40=37

第二部份延續看下去
N+40=77×2=154 N=154-40=114 最小的三位數
N+40=77×12=924 N=924-40=884 還不是最大的三位數
N+40=77×13=1001 N=1001-40=961 這才是最大的三位數

因此，將77的13倍減掉2倍，頭尾都算還要加上一個
13-2+1=12
因此，三位數的N一共有12個。

希望這樣的解法您看的懂。

Answer 2

問一下第2位
所以最小為 4n+6=7*11*2 => n=37
那個乘2是怎來的阿?

Answer 3

7|(n-2) =>(7*11)|11*(n-2).....(1)
11|(n-4) =>(7*11)|7*(n-4).......(2)
(1)-(2) => (7*11)|(4n+6)
所以最小為 4n+6=7*11*2 => n=37
其他可能答案(ｎ為三位正整數時)
4n+6=7*11*6 =>n=114
4n+6=7*11*10 =>n=191
4n+6=7*11*14 =>n=268
.....
4n+6=7*11*50 =>n=961
共 (50-6)/4+1=12個

2005-10-04 14:03:09 補充：
因為不乘以2無法求得n為自然數