能用更快的方法姐出下面的題目嗎?

Question

f(x)為3次多項式...而f(x)除x平方+1餘2x+8...f(x)除x平方-1餘6x+8...求f(0)=?答案是5

Answer 1

假設 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
因此題目所要求的 f(0) = d
依題意 :
f(x) = (x^2+1)Q1(x) + (2x+8) .......(A)
f(x) = (x^2-1)Q2(x) + (6x+8) ........(B) .......... ps. Q(x)為商式

先用 x = 1 和 x = -1 代入第(B)式
f(1) = 0 + 6*(1)+8 = a+b+c+d
=> a+b+c+d = 14
f(-1) = 0 + 6*(-1)+8 = -a+b-c+d
=> -a+b-c+d = 2
將兩式相加 => b+d=8

再用 x = i (虛數) 代入第(A)式
f(i) = 0 + 2*(i) + 8 = -ai-b+ci+d = (d-b) + i(c-a)
實部等於實部 , 虛部等於虛部
=> d-b=8

d+b=8
d-b=8
兩式相加 d=5 即 f(0) = 8

希望這是你想要的答案^^

2005-10-01 15:16:54 補充：
答案是8沒錯 , 我一開始的答案計算錯誤^^" 不好意思

2005-10-01 15:25:34 補充：
如果要求原本的被除式
再將x=-i代入 :
f(-i)=ai-b-ci+d=(d-b)+(a-c)i=2(-i)+8
=>a-c=-2
和上面f(i)求得的
=>c-a=2
發現c和a有無限多組解
可得關係式=> a=c-2

故被除式f(x)可以為:
f(x)=x^3+3x+8
或 2x^3+4x+8
或 3x^3+5x+8
或 100x^3+102x+8
...等,有無限多組被除式都可為此題解

Answer 2

這題的題目問的是更快的方法。
我就提供一個這一題的最快方法
(但別題不一定適用)，
承克勞棣的計算，
令f(x)=(x^2+1)*g(x)+2x+8
=(x^2-1)*g(x)+ 2*g(x)+ 2x+8
因為g(x)為一次式，
故2*g(x)+ 2x+8 = 6x + 8。
得 g(x)= 2x。
而 f(0)= (0+1)g(0)+2×0+8 = 8

Answer 3

答案應該是8，原來的多項式是2x3+4x+8f(x)≡(2x+8)(mod x2+1) → (x2-1)f(x)≡(x2-1)(2x+8)(mod x4-1)f(x)≡(6x+8)(mod x2-1) → (x2+1)f(x)≡(x2+1)(6x+8)(mod x4-1)[(x2+1)-(x2-1)]f(x)≡(x2+1)(6x+8)-(x2-1)(2x+8)(mod x4-1)2*f(x)≡(6x3+8x2+6x+8)-(2x3+8x2-2x-8)(mod x4-1) 2*f(x)≡4x3+8x+16(mod x4-1)2不是x4-1的因式，所以可以除掉f(x)≡2x3+4x+8(mod x4-1)結論就是f(x)除以x4-1的餘式是2x3+4x+8因為f(x)是三次，所以f(x)=2x3+4x+8f(0)=8-----------------------------------------------比較「守法」的作法：f(x)=(x2+1)*g(x)+2x+8     =(x2+1)*(ax+b)+2x+8(因為f(x)是三次，所以g(x)必然是一次，令其為ax+b)     =ax3+bx2+(a+2)x+(b+8)(再除以x2-1)     =(x2-1)(ax+b)+(2a+2)x+(2b+8)因此2a+2=6，2b+8=8a=2，b=0代回f(x)=(x2+1)*(ax+b)+2x+8f(x)=2x3+4x+8

2005-10-01 21:31:10 補充：
ilovecalla^^：
f(x)=x^3+3x+8
或 2x^3+4x+8
或 3x^3+5x+8
或 100x^3+102x+8
...等,有無限多組被除式都可為此題解
你把x^3+3x+8除以x^2-1就知道答案還是錯的，因為它的餘式是4x+8，而非6x+8。