負數的二進位??

Question

-1842 要怎樣用二進位表示??
可以交我一下嗎??

Answer 1

你指的這個問題，其實應該是在電腦上才的遇到 ~
因為二進位，最常用的就是在只有 0 跟 1 的計算機上。
平常我們人與人溝通，不會沒事就用二進位，或是十六進位的。
於是呢，你要先考慮，電腦是用幾位數來表示一個數值？
常見的有用 1Byte，2Bytes，4Bytes的。也就是 8bits, 16bits, 32bit。
我們現在只討論 16bits的情況，它只能表示出
0000 0000 0000 0000 ~ 1111 1111 1111 1111，一共是 2^16 = 65536 個數。
如果呢，我們只全部將它定義成非負整數，那它就能對應到
0 ~ 65535 這些整數。
如果，我們要對應到負數，那方法有下列三種，但每種方法，都是將最高一位數，拿來表示正負值所用，故只剩下 31個位元來表示數值。所以，最多只能對應到 - 32768 ~ 0 ~ 32767 這些整數。這三種對應都是把
0000 0000 0000 0000 ~ 0111 1111 1111 1111 對應到 0 ~ 32767。故我們只要看它怎麼處理負數的：
第一種方法，就是上一位提到的，把 1xxx xxxx xxxx xxxx 對應到
0xxx xxxx xxxx xxxx 所對應的值的負值。舉個例，就是
0000 0000 0000 1000 是十進位的 8。 1000 0000 0000 1000 對應的就是 -8。
這時候，1000 0000 0000 0000對應的也是 十進位的 0。故這種方法，只能表示出
- 32767 ~ 0 ~ 32767 這些整數。
第二種方法，就是先取補數，再取負值，
1000 0000 0000 1000 先取補數，就是 0111 1111 1111 0111，對應的是 32759，
所以，1000 0000 0000 1000 對應的就是 - 32759。
第三種方法，是先用第二種方法取出補數後，再加 1，再取負數，
1000 0000 0000 1000 先取補數，就是 0111 1111 1111 0111，加 1後，
變成 0111 1111 1111 1000 ，對應的是 32760。原數對應的就是 -32760。

這三種方法都是可以用的啦，取法的名稱也不一樣，你可以去查一下計算機概論的書。
只是呢，接下來有一個問題是，那遇到有正負數時，計算機怎麼去計算他們的和呢？
前兩種方法比較有點麻煩，我就不說了，只有第三種方法，它是可以直接相加的，不需做任何處理 (如果有進位到第 17位數，是會被捨去的，因為計算機只放16個 bits 來記錄)。
因此，如果以上例來說，當它遇到 -8 + 8時，計算機的計算如下：
1111 1111 1111 1000 + 0000 0000 0000 1000 = 1 0000 0000 0000 0000
當然，最前面的 1，是不被計算機所記錄的，於是答案就是 0了。
(你可以想像一下，前兩種方法，計算機再計算 a + b的時候，要先去考慮
a, b分別的正負值，然後再去用不同的方式來相加。因為，很明顯的，
a, b 兩數都是 正數時，跟 一正一負時，相加的方式就是不一樣的了。
只有第三種方法，不管 a, b的正負，都是直接相加)
因此呢，好像現在大多都是用第三種方法來取負值的表示法。
如果你要問的， -1842 怎麼用這種方法來記，那就是透過原來定義的反運算：
1842 = 0000 0111 0011 0010，減 1 得： 0000 0111 0011 0001，
再取補數 1111 1000 1100 1110，那這個就是 - 1842。
可是呢，還有一個簡單的計算，因為我剛有說過， -1842 + 1842 = 0
所以，你用 1 0000 0000 0000 0000 - 0000 0111 0011 0010，就可以得到
1111 1000 1100 1110。
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最後要說的是，三種不同取負值的方法，會造成負值的表示法是不一樣的，
還有一個最重要的一點就是，你是用幾位數來表示一個數值的。
用 8bits 是表示不出 -1842的，而 16bits 跟 32bits 底下， -1842的寫法也不一樣的。
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要補充的是，這些是以前看計算機概論而來的心得。更詳細的介紹，請自行
找一本相關書籍來參考~

2005-09-30 14:34:08 補充：
其實呢，你這一題，應該是放到電腦類別才是呢。
前兩位的回答，都是把十進位的觀念套到二進位去。
只是呢，請試想一下，為什麼會有二進位的產生，原因就是當某種情況底下，只有 0 跟 1 的數值來表示一位數時。那麼，請問用什麼來表示 "-" 負號這個符號呢？
會不得不用二進位制的，通常就是在電腦上。這時候用來表示 "+" 或 "-" 號，也只有 0 跟 1。因此，把最高一位元拿來表正負，剩下其它的位元才拿來表數值~

2005-10-03 13:33:10 補充：
謝謝樓上兩位的意見~
我想把這類歸到電腦類，是因為如果放到電腦類的話，會有較多該類較專門的人員來參與提供意見。
並不是為了說這是不屬於數學的問題。
很同意你說的，數學本來就是為了解決生活上各式各類問題而產生出來的。所以，像物理、化學、天文等各方面，哪裡見不到數學的存在呢？
希望你別太生氣，我只是說，這放到電腦類問題上，沒說這不是數學問題 ^^

Answer 2

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Answer 3

我同意小曄的回答，但是不同意他的意見。為什麼這一題，應該放到電腦類別呢？發問者明明是問「-1842 要怎樣用二進位表示」，並不是問「電腦怎麼表示-1842」。沒錯，電腦是用二進位，但那不表示二進位非和電腦扯上關係不可。言下之意似乎是說二進位是因為電腦而誕生的，那麼，三進位、七進位、十一進位又是因為生活中的什麼實際事物而誕生的呢？
二進位就是二進位呀！二進位跟十進位、三進位、五進位、n進位都只是進制的一種，進制不能只是數學問題嗎？我不認為進制必然是電腦領域的問題。

Answer 4

一般電腦中，對於有號整數的負整數以2的補數來表示，比如16位元的有號整數，共可表示2^16=65536個整數，先由0開始表示為0000,0000,0000,0000，接著1表示為0000,0000,0000,0001，以此類推直到32767表示為0111,1111,1111,1111，最高位元(稱作第15位元)保留給符號用，因此無法再往上數，所以16位元的有號正整數最大為32767。

再來看-1的表示：-1等於0減1，利用二進位減法0000,0000,0000,0000-0000,0000,0000,0001，不夠減，怎麼辦？向最高位元的下個位元(即第16位元)借1，減了之後成為1111,1111,1111,1111，表示-1。
-2等於0減2，利用二進位減法0000,0000,0000,0000-0000,0000,0000,0010，不夠減，向最高位元的下個位元(即第16位元)借1，減了之後成為1111,1111,1111,1110，表示-2。

以此類推直到-32768表示為1000,0000,000,0000，
可以發現：最高位元(稱作第15位元)是1時表示負數，最高位元(稱作第15位元)是0時表示正數。

當作兩個二進位數的加法時，如果一個為正，另一個為負，結果一定會在-32768與32767之間，若有進位到第16位元，則直接捨去即可，若有進位是負數向第16位元借的，現在只是還給它而已，所以捨去還給第16位元；例如-2加3：
1111,1111,1111,1110+0000,0000,0000,0011=1,0000,0000,0000,0001
將原先向第16位元借的1還它，也就是捨去第16位元的1，就是正確答案0000,0000,0000,0001。

當作兩個二進位數的加法時，如果兩個都為正，或兩個都為負，若結果在-32768與32767之間，同樣的，若有進位到第16位元，則直接捨去即可；例如-2加-3：
1111,1111,1111,1110+1111,1111,1111,1101=1,1111,1111,1111,1011
將原先向第16位元借的1還它，也就是捨去第16位元的1，就是正確答案1111,1111,1111,1011，即為-5。

當作兩個二進位數的加法時，如果兩個都為正，或兩個都為負，若結果不在
-32768與32767之間，表示有溢位發生，則結果無法以16位元表示這個有號整數，則必須做修正；這裡只說發生溢位的狀況是什麼現象；如果兩個都為正，例如32767+2=32769，不在-32768與32767之間，表示有溢位發生，以二進位表示這個加法：0111,1111,1111,1111+0000,0000,0000,0010=1000,0000,0000,0001，最高位元(第15位元)為1表示其為負數是-127，兩個正數相加變成負數發生了溢位，判斷的方法是：到第15位元的進位(此時有進位)，與到第16位元的進位(此時沒有進位)，兩者不同就是有溢位發生。
再舉兩個都為負數的例子，例如-32767+(-2)=-32769，不在-32768與32767之間，表示有溢位發生，以二進位表示這個加法：1000,0000,0000,0001+1111,1111,1111,1110=1,0111,1111,1111,1111，最高位元(第15位元)為0表示其為正數是127，兩個負數相加變成正數發生了溢位，判斷的方法是：到第15位元的進位(此時沒有進位)，與到第16位元的進位(此時有進位)，兩者不同就是有溢位發生。

2005/10/1, 7:00補充：
-1842為0減1842，1842的16位元二進位表示為0000,0111,0011,0010，要以2的補數表示-1842，就是：0000,0000,0000,0000-0000,0111,0011,0010，不夠減，向第16位元借1，也就是1,0000,0000,0000,0000-0000,0111,0011,0010，1,0000,0000,0000,0000-0000,0111,0011,0010=1111,1111,1111,1111-0000,0111,0011,0010+0000,0000,0000,0001，而1111,1111,1111,1111-0000,0111,0011,0010就是0000,0111,0011,0010的位元中的0轉變成1而1轉變成0，也就是0000,0111,0011,0010的1之補數，而1111,1111,1111,1111-0000,0111,0011,0010+0000,0000,0000,0001就是0000,0111,0011,0010的1之補數再加1，成為0000,0111,0011,0010的2之補數，換句話說：0000,0111,0011,0010的位元中的0轉變成1而1轉變成0，變成1111,1000,1100,1101再加1，變成1111,1000,1100,1110，就是-1842的16位元2之補數表示法，也就是16位元有號整數常用的負數表示法。

Answer 5

1842/2=921....0 <-----餘數為 2^0項係數
921/2=460....1 <-----餘數為 2^1項係數
460/2=230....0 <-----餘數為 2^2項係數
230/2=115....0 <-----餘數為 2^3項係數
115/2=57....1 <-----餘數為 2^4項係數
57/2=28....1 <-----餘數為 2^5項係數
28/2=14...0 <-----餘數為 2^6項係數
14/2=7....0 <-----餘數為 2^7項係數
7/2=3...1 <-----餘數為 2^8項係數
3/2=1....1 <-----餘數為 2^9項係數
商數小於2 此處商數為 2^10項係數
所以
1842=1*2^10+1*2^9+1*2^8+0*2^7+0*2^6+1*2^5+1*2^4+0*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0
所以
1842 用二進位表示
1842=11100110010
加負號
-1842=-11100110010

check:
1*2^10+1*2^9+1*2^8+0*2^7+0*2^6+1*2^5+1*2^4+0*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0
去算算看是否為1842
OK!

2005-09-30 15:12:41 補充：
同意小嘩的說法
請選3號
老師的作法請參考

Answer 6

進位的方法跟正數一樣，只是前面再加個負號而已。