高中數學整數論之證明題

Question

證明
a^2+b^2=c^2的正整數解a,b,c中，至少有一個是4的倍數?
..........................................................................................................
想了很久....沒結果
幫幫我!!

Answer 1

假設 a . b . c 都不是 4 的倍數
則
a = 4A+1 或 4A+2 或 4A+3
b = 4B+1 或 4B+2 或 4B+3
c = 4C+1 或 4C+2 或 4C+3
因為 a.b.c. 有 " 正整數 " 的限制
所以 A.B.C 也是 " 整數 "
然後把 a . b . c . 可能的值代入 原式 a^2 + b^2 = c^2
計算 16(A^2+B^2-C^2) + 8 (A+B-C) 的值 是否為 8 的倍數
以下是計算結果
________________________________________________________
(1.1.1)表示 a 用4A+1 . b 用4B+1 . c 用 4C+1 .代入原式 . 以下類推:
________________________________________________________
(1.1.1) = -1 (1.1.2) = +2 (1.1.3) = +7
(1.2.1) = -4 (1.2.2) = -1 (1.2.3) = +4
(1.3.1) = -9 (1.3.2) = -6 (1.3.3) = -1
(2.1.1) = -4 (2.1.2) = -1 (2.1.3) = +4
(2.2.1) = -7 (2.2.2) = -4 (2.2.3) = +1
(2.3.1) = -12 (2.3.2) = -9 (2.3.3) = -4
(3.1.1) = -9 (3.1.2) = -6 (3.1.3) = -1
(3.2.1) = -12 (3.2.2) = -9 (3.2.3) = -4
(3.3.1) = -17 (3.3.2) = -14 (3.3.3) = -9
__________________________________________________
根據計算結果 如果 a.b.c. 都不是 4 的倍數
則不論 a.b.c. 以任何的 " 正整數 " 代入原式
都無法使得 16(A^2+B^2-C^2) + 8 (A+B-C) 的值 為 8 的倍數
也就是 原方程式 無解

故得證 : a.b.c. 至少有一個為 4 的倍數

Answer 2

其實這可以更進一步確定，a,b至少有一個是4的倍數。(1)k2≡1(mod 4) 若k是奇數     k2≡0(mod 4) 若k是偶數     (亦即k2模4只可能餘1或0) (2)k2≡1(mod 8) 若k是奇數     k2≡0(mod 8) 若k是4的倍數     k2≡4(mod 8) 若k是偶數且不為4的倍數     (亦即k2模8只可能餘1或0或4) 若a,b皆為奇數，根據(1)，a2+b2≡c2≡1+1≡2(mod 4)這是不可能的。故a或b為偶數。 以此為基礎往下推，若a,b皆不為4的倍數(但a,b至少一個是偶數)，則a2,b2模8只可能餘1,4或4,4 c2≡1+4≡5，所以1,4是不可能的 若a2,b2模8餘4,4 令a=4m+2，b=4n+2，c=4k， 因為a2+b2=c2 易知(a/2)2+(b/2)2=(c/2)2也成立 ，且a/2,b/2,c/2皆為整數但(a/2)與(b/2)皆為奇數，矛盾。 因此a或b為4的倍數。