請問一題難算的數學: 計算許多的三角形....

Question

有一的邊長為10cm的正三角形, 現在每邊都分成10等分, 每分1cm, 向相對兩邊作連線, 每一點恰可連出兩條與另兩邊平行的線, 因此這些點都連出線條之後, 發現形成許多的正三角形, 請問這些三角形有多少個??

若原先正三角形一邊平行於桌底(想像一下你的電腦桌...)
則分割出來的三角形有正的也有反的
我算出分割三份的三角形數目是1+3+6+3=13
但是10份的太難, 才請大家算一下

Answer 1

一共有 315 個。
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100個，指的是邊長為 1cm 的小三角形有 100個 (10×10)。
(每邊分成 n 分，就有 n×n 個正反小角形)。可是，提問者說的，
"我算出分割三份的三角形數目是1+3+6+3=13 "
這就表示，要算的是大大小小三角形的合，以三等分為例：
邊長 1的有： 1 + 3 + 5。
邊長 2的有：3。
邊長 3的有 ：1。
所以一共是 13個。
分成 n 等分呢，以前我有玩過，整理出一個公式，可是年代太久遠了，
找不到了，底下，我就試著再推一次：
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根據沒落的些微記憶，這個計算，一定要把正反的三角形分開計算，
才好找出它的規律，以方便我們找出它的公式來：底下我們先用 10等分來推~
正三角形有：
邊長為 1的：第 n層 n個，所以一共有 1 + 2 + 3 + ... + 10；
邊長為 2的：只看三角形上方的頂點，以最下層的上方之點做為頂點的話，
　　　　　　不能做出邊長為 2 的三角形，所以，總共有 1 + 2 + 3 + ... + 9；
邊長為 3的：一樣只看頂點，底兩層做不出來，所以共有 1 + 2 + 3 + ... + 8；
易推出，每邊 10等分一共有正的三角形：1 + (1 + 2) + ...... + (1 + 2 + ... + 10)個。
倒的三角形有：
邊長為 1的：我們看三角形下方的頂點，由於上方邊長是1，所以，該頂點要從
　　　　　　第二層的下方起算到第十層，一共有 1 + 2 + 3 + ...... + 9；
邊長為 2的：一樣看下方的頂點，由於上方邊長是 2，所以，該頂點要從
　　　　　　第四層的下方起算到第十層，一共有 1 + 2 + 3 + ...... + 7；
最多只有邊長為 5的倒的三角形，個數是 1。
因此呢，正反三角形，一共有多少呢，詳細我就不列計算過程了，
一共有 220(正) + 95(倒) = 315 個大大小小的三角形。
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接下來，要推出分 n邊時，共有多少正正倒倒、大大小小的三角形的話，
正的有 n(n+1)(n+2) / 6 ，反的呢，會依 n 的奇偶而異：
當 n 是偶數時 (1) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 +3 + 4 + 5) + ...... + [1 + 2 + 3 + ...... + (n-1)]，
一共是 n (n + 2)(2n - 1) / 24個。
當 n 是奇數時 (1 + 2) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6) + ...... +[1 + 2 + ...... + (n-1)]，一共是 (n -1)(n + 1)(2n + 3) / 24個。
把正倒的三角形，加在一起，得到：
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當把每邊 n等分(n為偶數)時，一共有 n(n + 2)(2n + 1) / 8 個三角形。
當把每邊 m等分(m為奇數)時，一共有 (m + 1)(2m^2 + 3m - 1) / 8 個三角形。
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如果有心，試著把圖畫一下，驗証一下，n = 2, 4, 6時，還有 m = 1, 3, 5時，
算出的三角形數跟我推出的公式一不一樣 ^^~

Answer 2

每一層分別是1個,3個,5個,7個.....19個總共[(1+19)*10]/2=100

Answer 3

我只是用AUTOCAD畫出來的...答案是100個...不知如何計算..

2005-09-26 21:30:54 補充：
我只是用AUTOCAD畫出來的...答案是100個...不知如何計算..