向量內積定義

Question

如何定義向量內積？
要有證明．

Answer 1

以下出自參考資料. 此外須指出, 定義無法證明.

在靜力學中，有時需要求取兩直線間的夾角，或求取某力與某一直線互相平行和垂直的分力。在二維平面問題中，此類問題是非常容易以三角學予以解決；但對三維空間的問題，則較難處理，而必須利用向量的方法來求解。向量內積 (dot product) 是一種處理兩個向量乘積的特殊方法，用來解決上述的問題。

兩向量 A 和 B 的內積寫成 A ． B，讀作 "A dot B"，定義為 A 和 B 兩向量的大小與其夾角的餘弦函數的乘積，如下圖所示，其方程式之形式為

A． B = AB cosq

其中 0° ≦ q ≦ 180°。向量內積的結果為一純量，故也常稱之為向量的純量積。

運算法則 (laws of operation)

1. 交換律(commutative law)：

A ． B = B ． A

2. 與一純量相乘 (multiplication by a scalar)：

a (A ． B) = (aA) ． B = A ． (aB) = (A ． B) a

3. 分配律(distributive law)：

A ． (B + D) = (A ． B) + (A ． D)

利用式 A ． B = AB cosq ，很容易可以證明上述之前兩項法則，第三項法則的證明留作自行練習。
笛卡爾向量的內積形式 利用式 A ． B = AB cosq ，可以求得笛卡爾單位向量彼此間的內積，例如 i ． i = (1) (1) cos0° = 1 和 i ． j = (l) (l) cos90° = 0。同理可得

i ． i = 1 ; j ． j = 1 ; k ． k = 1

i ． j = 0 ; j ． k = 0 ; k ． j = 0

上述結果必須充分理解，而不需強記。

兩個以笛卡爾向量式表示的向量 A 和 B，其內積為

A ． B = (Axi + Ayj + Azk) ． (Bxi + Byj + Bzk)

= AxBx(i ． i) + AxBy(i ． j) + AxBz(i ． k)

+ AyBx(j ． i) + AyBy(j ． j) + AyBz(j ． k)

+ AzBx(k ． i) + AzBy(k ． j) + AzBz(k ． k)

上式可化簡為

A ． B = AxBx + AyBy + AzBz

因此，兩個笛卡爾向量的內積為 x, y, z 方向上之各分量的乘積的代數和。內積結果為一純量，故不可含有任何單位向量。