微分數學問題

Question

已知Mx(t)={e^t*(1-e^Nt)}/{N*(1-e^t)}
求Mx'(t)|t=0(對t微分令t=0)
麻煩證明給我看....為何等於(N+1)/2
請詳細的解答@@"~3Q

可以用微分除法原則解嗎@@"~

1/N*[{e^t-(N+1)*e^(N+1)t}*(1-e^t)-(-e^t)*{(e^t)-(e^(N+1)t] / (1-e^t)^2
為什麼=(N+1)/2
想不通@@"~

小綠謝了...你的解法我懂了..很清楚
我的疑點是採用微分除法原則令t=0
1/N*[{e^t-(N+1)*e^(N+1)t}*(1-e^t)-(-e^t)*{(e^t)-(e^(N+1)t] / (1-e^t)^2

Answer 1

∵ 1-x^n=(1-x)(1+x+x^2+x^3+……+x^(n-1))
∴ 1-e^Nt=(1-e^t)(1+e^t+e^2t+e^3t+……+e^(N-1)t)
→ (1-e^Nt)/(1-e^t)=1+e^t+e^2t+e^3t+……+e^(N-1)t
又 Mx(t)={e^t*(1-e^Nt)}/{N*(1-e^t)}
={e^t/N}*{(1-e^Nt)/(1-e^t)}
∴ Mx(t)={e^t/N}*{1+e^t+e^2t+e^3t+……+e^(N-1)t}
Mx'(t)={e^t/N}'*{1+e^t+e^2t+e^3t+……+e^(N-1)t}+{e^t/N}*{1+e^t+e^2t+e^3t+……+e^(N-1)t}'
={e^t/N}*{1+e^t+e^2t+e^3t+……+e^(N-1)t}+{e^t/N}*{e^t+2e^2t+3e^3t+……+(N-1)e^(N-1)t}

當t=0，則e^t=e^0=1，e^2t=1，e^3t=1，e^(N-1)t=1
∴Mx'(0)={1/N}*{1+1+1+1+……+1}+{1/N}*{1+2+3+……+(N-1)}
Mx'(0)={1/N}*{N}+{1/N}*{N(N-1)/2}
=1+(N-1)/2
=(N+1)/2