二次方程式&根與係數&極值問題

Question

實係數二次方程式x^2-kx+(k+3)=0的兩實數根平方和為最小時，k值為？

Answer 1

假設兩根為α,β，由根與係數關係可知α+β=kαβ=k+3α2+β2=(α+β)2-2αβ=k2-2k-6=(k-1)2-7又，兩根為實數，判別式大於等於0k2-4(k+3)=k2-4k-12=(k+2)(k-6)≧0因此k≧6或k≦-2因為(-2-1)2<(6-1)2因此k=-2時有最小值2

Answer 2

k = 1 時，的確無實數根，
建議再討論一下有實數根時，k的限制條件。

Answer 3

阿義先生
當 k = 1 時，原式無實數根
請您再check 一下

Answer 4

設二根為a,b,
由根與係數關係知：
a+b=k
ab=k+3
則a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
=k^2-2(k+3)
=k^2-2k-6
=(k-1)^2-7
當k=1時，有最小值-7。
但驗證k=1時，並無實根，所以此答案不正確。
因為兩根需為實根，
因此判別式 k^2-4(k+3)≧0
=> k^2-4k-12≧0
=> (k-6)(k+2)≧0
=> k≧6, k≦-2
判斷端點的極值
(1) k=6, x^2-6x+9=0 => x=3, 3
3^2+3^3=18
(2) k=-2, x^2+2x+1=0 => x=-1,-1
(-1)^2+(-1)^2=2
所以當k=-2時，有最小值2。

2005-09-22 11:19:48 補充：
豬皮先生
您的兩根r1,r2有寫錯
要不要再check一下

2005-09-22 20:52:53 補充：
感謝tom兄指正，我已知錯誤。

Answer 5

二次方程式的兩根可用公式求得r1=(k/2) + √(k2/4-k-3)r2=(k/2) - √(k2/4-k-3)令兩根平方和為SS=r12+r22=k2-2k-6要求極值，可用微分求一階導函數為零的點dS/dk=0è2k-2=0èk=1根為兩實數根è判別式>=0k2-4k-12>0è(k+2)(k-6)>0èk>=6或k<=-2檢查平方和之極小值點è-2<1<6è不為實數根求端點值之Sk=6èS6=18k=-2èS2=2故解答為 k=-2

2005-09-22 11:53:04 補充：
阿義：我的兩根及平方和確實算錯了，謝謝指正。