數學難題解方程式

Question

x = y + 7/y
y = z + 7/z
z = w + 7/w
w = x + 7/x
解 x , y , z , w 或 證明恆等式

不要打我 更改題目
2x = y + 7/y
2y = z + 7/z
2z = w + 7/w
2w = x + 7/x
解 x , y , z , w 或 證明恆等式

Answer 1

一、首先，四式相加，得 7/y + 7/z + 7/w + 7/w = 0 ，可見 x, y, z, w 均不為零。
二、第一式全部乘 y ，得：　xy = y^2 +7
　　第二式全部乘 z ，得：　zy = z^2 +7
　　第三式全部乘w ，得：　wz = w^2 +7
　　第四式全部乘x ，得：　xw = x^2 +7
　　四式相加得：　x^2 + y^2 + z^2 + w^2 -xy -yz -wz -xw + 28 = 0
　　　1/2 [(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2wz+w^2)+(w^2-2xw+x^2)]+28=0
　　故　1/2 [(x-y)^2+(y-z)^2+(z-w)^2+(w-x)^2] + 28 = 0
　　因任何數的平方一定是大於或等於零，故[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-w)^2+(w-x)^2]的值一定大於或等於零，再加上28，一定大於零。
　　所以本題無解。

Answer 2

2x = y + 7/y
2y = z + 7/z
2z = w + 7/w
2w = x + 7/x
================
x=y=z=w=7^(1/2)

Answer 3

我可以猜到2組解,但不知是否只有2組解

Answer 4

題目應該要加上x,y,z,w為實數的條件，否則或許其有複數解

Answer 5

把四個等式加起來x+y+z+w=x+y+z+w+7/x+7/y+7/z+7/w0=7/x+7/y+7/z+7/w0=1/x+1/y+1/z+1/w顯然x,y,z,w不可能都是正數，也不可能都是負數，且四者皆不為0不失一般性令x為負數因為x = y + 7/y為負數 ，因此y不為正數，不為0，y為負數同理，y為負數，z也會是負數；z是負數，w也會是負數因此x,y,z,w都是負數，矛盾。因此無解。