橢圓內部有沒有斜斜的正方形?

Question

請問橢圓內部有沒有斜斜的正方形?
因為課本上算橢圓內部正方形最大面積
都直接代入正規的正方形

不管啦～到底有沒有
記得證明~~

可以講得更清楚一點嗎?

Answer 1

你指的應該是橢圓內接正方形吧
(一)先證明一個引理
引理：橢圓內一組平行弦的中點連線會通過橢圓的中心
設橢圓的方程式為x^2/a^2+y^2/b^2=1
平行弦的的斜率為m，方程式為 y=mx+k (注意，參數為k )
代入整理得
(m^2*a^2+b^2)x^2+(2*a^2*m*k)x+(a^2*k^2-a^2*b^2)=0
兩根就是兩交點的x座標
令交點座標為 (x1,y1)，(x2,y2)；其中點座標為 (X,Y)
由根與係數關係知
x1+x2=-(2*a^2*m*k)/ (m^2*a^2+b^2)
X=(x1+x2)/2=-(a^2*m*k)/ (m^2*a^2+b^2)
Y=mX+k= k/(m^2*a^2+b^2)
Y/X=-1/m^2*a
Y=(-1/m^2*a)X
所以平行弦的中點連線為一直線
且通過(0,0)

(一)橢圓內接矩形
矩形的對邊平行
所以橢圓的中心為這矩形對邊的交點
也就是矩形的對稱中心
所以矩形的頂點可設為 (0≦α,β≦π)
(a*cosα,b*sinα)，(a*cosβ,b*sinβ)，(-a*cosα,-b*sinα)，(-a*cosβ,-b*sinβ)
相鄰的兩邊互相垂直
[a*( cosα- cosβ),b*( sinα- sinβ)]．[a*( cosα+ cosβ),b*( sinα+ sinβ)]=0 (向量內積)
a^2*(cos^2α-cos^2β)+b^2(sin^2α-sin^2β)=0
又sin^2α-sin^2β=1- cos^2α-1+ cos^2β= cos^2β- cos^2α
∴(a^2-b^2)( cos^2α-cos^2β)=0
a≠b (橢圓)
cos^2α-cos^2β=0
cosα=cosβ α=β  無法構成矩形
cosα=-cosβα+β=π
(a*cosβ,b*sinβ)= (-a*cosβ,b*sinβ)
(-a*cosβ,-b*sinβ)= (a*cosβ,-b*sinβ)
故知矩形的頂點也對稱於x軸,y軸
也就是矩形的邊與橢圓的軸平行

橢圓內接正方形沒有斜斜的

Answer 2

不可能因為有兩條不一樣長的半徑