大雄選的數字及想的數字各為多少?

Question

大雄在心裡想一個不超過550的正整數，且從143、857這兩數中選一個數，然後將心裡想的數與選的數相乘，結果此乘數的末三位數是231。你能推敲大雄想的數字及選的數字為何嗎？

Answer 1

想的是383，選的是857假設乘積為1000k+231，選的是143因為143*550=78650因此0≦k≦781000k+231≡0(mod 143)-k+231≡0(mod 143)[因為1001是143的倍數]231-k為143的倍數令231-k=143p，則k=231-143p，但不論p是多少，k都不會在原定範圍內，因此選的不是143。選的必然是857因為857*550=471350因此0≦k≦4711000k+231≡0(mod 857)6000k+1386≡0(mod 857)k+1386≡0(mod 857)[因為5999是857的倍數]k-328≡0(mod 857)k=328328231/857=383

Answer 2

既然克勞棣已經用了同餘的方法那我就用高中的算法假設選的是143 想的是x143x=1000y+231143x-1000y=231|143|1000|7|   |1001||   |  -1|1000-143*7=-1143*7-1000*1=1同乘231143*(7*231)-1000*(231)=231所以通解為x=7*231+1000t=1617+1000ty=231+143tx的正整數解=617,1617,...所以不可能落於1~550假設選的是857 想的是x

857x=1000y+231
857x-1000y=231
6|857|1000|1 
|858| 857| 
| -1| 143|1000-857=143......(1)875-143*6=-1......(2)(1)*6-(2)1000*6-857*7=1857*(-7)-1000*(-6)=1同乘231857*(-7*231)-1000*(-6*231)=231
所以通解為
x=-7*231+1000t=-1617+1000t
y=-6*231+857t
x的正整數解=383,1383,...所以想的是383 選的是857

Answer 3

有說乘出來的數字是幾位數的嗎??

2005-09-20 00:12:40 補充：
383...
選的數應該是質數...所以選857
因為是1結尾...所以7要乘3才能成立
就從13開始往上乘.23.33.43....由於尾數是7
所以會發現出來的數會7個一輪迴
然後數值遞減...剛好第38個會剛好231...所以答案是383

Answer 4

先分析143
跟他相乘尾數是一的數的尾數只有7
而550*143=78650
尾數要2311表示是ab231
ab=01~78 而143為11*13
表示xx231要可以整除於11及13
根據11的方法表示a+2+1=b+3 ==> a=b 所以ab=11,22,33,44,55,66,77
因為我忘了13的方法市什麼 所以直接拿11231~77231除以13(答案是沒有)
接著在分析857
因為它是質數 所以直接用乘ㄉ比要快
857*3=2571 因為尾數要231 所以 231-71=160
第二個尾數要八 乘以857 尾數才會是6 (ex:80*857=68560)
再來就是83*857=71131
231-131=100
尾數又要是1 第三個尾數又是三乘以857才會是1
所以答案是383*857=328231
分析:383*857=(300+80+3)*857=257100
+ 68560
+ 2571
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328231