小明心裡想的數是多少?

Question

小明在心裡想一個小於99的正整數，他將此數除以9，並將所得的餘數乘以55，得到第一個數字；又將此心裡想的數除以11，並將所得的餘數再乘以45，得到第二個數字。小明只告訴我們，這兩個數字的和是335，你能猜到小明心裏想的數嗎?

Answer 1

用同餘式的某個性質是最漂亮的了。若同餘式a≡b(mod m)成立，則ac≡bc(mod mc)也成立。其中m,c為正整數，a,b為整數。假設此數是x，則x≡a(mod 9)→11x≡11a(mod 99)→55x≡55a(mod 99)x≡b(mod 11)→9x≡9b(mod 99)→45x≡45b(mod 99)55x+45x≡55a+45b(mod 99)100x≡335≡38(mod 99)99x+x≡38(mod 99)x≡38(mod 99)38是唯一正解

2005-09-20 01:13:28 補充：
這題是有詭計的。其實335直接除以99所得到的餘數38就是答案了。而99=9*11。

Answer 2

我個人認為是38 如果某數除以9的餘數╳55，那它的餘數≦6的正整數，如果大於7那就會超過335了
同理，某數除以11的餘數必≦7 帶入下列的表格可知唯有"5"跟"2"符合條件其餘皆為超過或不足 (設N為小明想的數)
除以9的所得的餘數:7.6.5.4.3.2.1. 除以11所得的餘數:6.5.4.3.2.1
接下來只要找出符合 N/9=??…2 N/11=??…5
在9N+2的第4個和11N+5的第三個可找出，皆為38 (1樓的大大，如果是39的話小明想的數是435唷~)

Answer 3

首先假設小明想的數字是A，第一個數字是B，第二個數字是C。

A = 9*a + b ---(1)
A = 11*x + y ---(2)
B = 55*b
C = 45*y
B + C = 55*b + 45*y = 335 ---(3)

由(1)可知，0<=a<11，0<=b<9
由(2)可知，0<=x<9，0<=y<11
已知b，y皆為整數，於是由(3)可以推測出：b=2，y=5。(一個一個慢慢試)
代入(1)，(2)可得：9*a - 11*x = 3
已知a，x皆為整數，於是可以確定a=4，x=3。(一個一個慢慢試)
所以A=38

Answer 4

如題可假設如下：
心裡的數=N
N = 9x+a = 11y+b
a,b 分別是N除以9及11後所得的餘數，x,y則是商，a,b,x,y都是正整數。
由題目可知：
55a+45b = 335
11a+9b = 67
解 a,b 可得 (a,b) = (2,5)
故 N = 9x+2 = 11y+5 <99
==> 9x = 11y+3
解 x,y 可得 (x,y) = (4,3)...但其他解代回後，N均會大於99，故不合。
故 N=38

Answer 5

答案是39某數/9=?...A某數/11=?...BA*55=CB*45=DC+D=335經代算後.....A(3)*55=C(165)B(6)*45=D(270)再代算回去某數就是3939/9=4....339/11=3...6

2005-09-23 00:01:26 補充：
為何這題有38和39ㄉ答案呢?