高一邏輯問題~

Question

<1>. 若a,b為正實數,試證若a>b則a三方>b三方
<2>. 設a>0,b>0試證a三方+b三方>=a平方b+ab平方
<3>. 設a,b為相異正數,且a+b=1,試證1/a+1/b>4
-------請用逆推法

Answer 1

<1>因為a>b，故a-b為正數因為a,b為正數，故a2+ab+b2為正數因此a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0a3>b3<2>a3-ab2-a2b+b3=(a3-ab2)-(a2b-b3)=a(a2-b2)-b(a2-b2)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)2≧0  (因為a,b皆為正數)因此a3+b3≧a2b+ab2<3>因為a,b為相異正數,且a+b=1，故a,b必然一個大於1/2，另一個小於1/2(因為若其中一個等於1/2，則另一個也會是1/2，則a,b為"相同"正數)不失一般性令a<1/2且b>1/2則a-1/2<0→2a-1<0，2a-1是負數   b-1/2>0→2b-1>0，2b-1是正數(2a-1)(2b-1)<0  →  4ab-2a-2b+1<0  →  4ab-2a-2b+(a+b)<0→  4ab-a-b<0  →  (同除ab，不等號方向不變)4-1/b-1/a<0  → 1/a+1/b>4 

Answer 2

我...只會第一題耶＝　＝

＂若a>b則a三方>b三方 ＂
如果照這樣去推的話
（能帶隨便的數字進去嗎？）
１.可以的話↓
假設１：ａ＝４　　假設２：ａ＝－３　　　
　　　　ｂ＝２　　　　　　ｂ＝－５
４的三方＝６４　　－３的三方＝－２７
２的三方＝８　　　－５的三方＝－１２５
６４＞８　　　　　　－２７＞－１２５

怎麼說幾乎都是ａ大
不管帶哪個數字進去

不過有個前提→ａ不等於０