一個簡單的邊界值問題~~幫幫忙

Question

請問要證明sturm-liouvile的特徵函數的集合有完全性
簡單說明一下該怎麼做就可以了
感恩^^

Answer 1

兩點邊界值問題其實就是特徵值問題（eigenvalue problem），此種問題的一般化型態如下：

常微分方程式
dx\d{\[r(x)y']+[q(x)+λp(x)]y=0

若p、q、r’ 為區間[a, b]上之連續的實數函數，且r(x) > 0及p(x) > 0，則此稱為regular Sturm-Liouville problem。

若在區間[a, b]上有一點會使得r(x) = 0或 p(x) = 0，或所考慮之區間為無限長時，則上述的問題稱為singular Sturm-Liouville problem。

當上列問題中之ODE及邊界條件的等號右邊為零時，稱為齊性（homogenous）問題，反之稱為非齊性（nonhomogeneous）問題。

滿足上述Sturm-Liouville problem之非零解的參數λ稱為特徵值，而λ所對應之非零解稱為特徵函數。

Sturm-Liouville 的性質
(a) 特徵值λ為均實數，有無窮多個，且當n→∞時，λn→∞。
(b) 每一個特徵值只對應一個特徵函數。
(c) 對應不同特徵值的特徵函數一定線性無關（linearly independent）
(d) 對應不同特徵值的特徵函數在[a, b]上對權函數p(x)正交。