指數問題......................

Question

(x^x)^7=7
x=?
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x可為複數

Answer 1

已知　(x^x)^7=7
則 x^x=7^(1/7)*(cos(2kpi/7)+i sin(2kpi/7))----(1式) 圓周率用pi 其中k=0,1,2....6
令 x^x=r
則任一 r 皆可以 a(cosb+isinb) 表示
且 r^(1/x)= x
令 x=m(cos n+isin n)
則 r^(1/x)
=(a(cosb+isinb))^(1/(m(cos n+isin n)))
=(a(cosb+isinb))^(1/m*(cos(-n)+isin(-n)))
=(a*e^(ib))^(1/m*e^(-in))
=(e^(lna+ib))^(1/m*e^(-in))
=e^((lna+ib)(1/m*e^(-in)))
=x=m(cos n+isin n)=e^(lnm+in)

所以 e^((lna+ib)(1/m*e^(-in)))=e^(lnm+in)
(lna+ib)(1/m*e^(-in))=lnm+in
1/m*(lna+ib)(cos n - isin n)=lnm+in
(lna cosn + bsin n)+(bcosn -lna sin n)i=m lnm+ mni
所以
lna cosn + bsin n =mlnm
bcosn -lna sin n = mn
再用牛頓法解這個複雜的方程式求出m和n


因為這題目實在是太複雜了..所以我只寫大略流程