若a^2+b^2=c^2，證明a,b至少有一個是4的倍數

Question

若a,b,c皆為正整數，且滿足a2+b2=c2，證明a,b至少有一個是4的倍數。(我認為a,b至少有一個是3的倍數、a,b至少有一個是4的倍數、a,b,c至少有一個是5的倍數這三個證明中，4的倍數是比較有些難證的，故點數給得高一點，希望我的看法沒錯)

我自己的想法是這樣子，尚請有識之士指教一下。
(1)k^2≡1(mod 4) 若k是奇數
k^2≡0(mod 4) 若k是偶數
(亦即k^2模4只可能餘1或0)
(2)k^2≡1(mod 8) 若k是奇數
k^2≡0(mod 8) 若k是4的倍數
k^2≡4(mod 8) 若k是偶數且不為4的倍數
(亦即k^2模8只可能餘1或0或4)
若a,b皆為奇數，根據(1)，a^2+b^2≡c^2≡1+1≡2(mod 4)這是不可能的。故a或b為偶數。

以此為基礎往下推，若a,b皆不為4的倍數，則a^2,b^2模8只可能餘1,4或4,4
c^2≡1+4≡5，所以1,4是不可能的
若a^2,b^2模8餘4,4
令a=4m+2，b=4n+2，c=4k，
因為a^2+b^2=c^2
易知(a/2)^2+(b/2)^2=(c/2)^2也成立
但(a/2)與(b/2)皆為奇數，矛盾。
因此a或b為4的倍數。

Answer 1

顯而易見畢氏數a,b,c中只有可能是三偶或一偶二奇"三偶"時三數同除2a/2,b/2,c/2也是畢氏數所以一定有一數是偶數所以a,b,c中一定有一數為4的倍數"一偶二奇"時'a為偶'或'b為偶'不失一般性設'a為偶'a2=(c-b)(c+b)(a/2)2=[(c-b)/2][(c+b)/2]若[(c-b)/2],[(c+b)/2]同為奇數則[(c-b)/2]+[(c+b)/2]=c為偶數(矛盾)所以[(c-b)/2],[(c+b)/2]有一偶數所以(a/2)2為偶數所以a為4的倍數'c為偶'a,b為奇數a2≡1(模4),b2≡1(模4)所以c2≡a2+b2≡2(模4)(矛盾)

Answer 2

if c = 4n,  R4(c2) = 0if c ≠4n, then c = 4n ± 1,  R3(c2) = 1 OR c = 4n + 2,  R4(c2) = 0(I) if a = 4n ± 1 and b = 4m ± 1,a2 + b2 = 4K + 2 (必不為完全平方數)因此，a或b是偶數(II) 設a為偶數(a = 2K)，則b,c必同為偶數或同為奇數，若b,c同為奇數a2 = c2 - b24K2 = ( 2m + 1 ) 2 - ( 2n + 1) 2        = 4 ( m + n + 1) (m - n) K2 = ( m + n + 1 ) ( m - n)  【(m + n + 1) 或 ( m - n) 為偶數】K為偶數，a = 2K為四的倍數(III) 設a為偶數(a = 2K)，則b,c必同為偶數或同為奇數，若b,c同為偶數a2 = c2 - b24K2 = ( 2m ) 2 - ( 2n ) 2        = 4 ( m + n ) ( m - n) K2 = ( m + n ) ( m - n )若mn同為奇數或偶數，K2為偶數，K為偶數，a = 2K為四的倍數；若mn一偶一奇，則2m或2n為四的倍數，b或c為四的倍數。(好像哪裡有遺漏，不過今夜就先寫到這裡，明天再來細究)

Answer 3

angie：
不是要你找出b=4的倍數，使得a^2+b^2=c^2，而是已知a^2+b^2=c^2，證明a,b至少其一必為4的倍數。把題目想清楚。
K'r：
(5,12,13)的12是4的倍數呀！
(7,24,25)的24是4的倍數呀！
為什麼no？

2005-09-07 11:03:29 補充：
dd：
我是要證a,b至少其中之一是4的倍數，而非a,b,c至少其中之一是4的倍數喔！不過對於功力這麼深的你來說，應該沒差。

質數是可愛的：
確實是有遺漏唷！最後一行你不是要證a或b，怎麼變成b或c了？
還有你第二行怎麼有個模3的？

Answer 4

若 a, b, c 為一組畢氏三元數，則 ma, mb, mc 亦為一組畢氏三元數。
故只考慮a, b互質之情形。若a, b互質，則a, c及b, c也必互質。因此，我們可以只考慮a, b, c兩兩互質的情形。

若x, y, z為一組互相互質的畢氏三元數，x^2 + y^2 = z^2

(1)
因為奇數與奇數相加或相減均為偶數，故x, y, z中必有一為偶數。

(2)
若x, y為奇數，z為偶數，令x = 2k + 1, y = 2m + 1, z = 2n.
(2k +1)^2 + (2m + 1)^2 = 4n^2
4k^2 + 4k + 1 + 4m^2 + 4m + 1 = 4n^2
4(n^2 – k^2 – k –m^2 - m) = 2
表示2可以被4整除，矛盾。
故x, y中必有一為偶數

(3)
則 (x/2)^2 = (z^2-y^2)/2^2 = (z-y)/2 * (z+y)/2
因為y, z均為奇數，故
u = (z-y)/2 及 v = (z+y)/2 均為整數。
且因 y, z互質，故u, v互質。

因u, v互質，故 u,v 皆為完全平方

令 u = m^2, v = n^2，得
x = 2mn
y = v – u = n2 – m2
z = v + u = n2 + m2
得畢氏三元數通解。

(4)
又 y , z 皆為奇數
且 y = n^2 - m^2 則 m,n 中必有一偶數。
故 x = 2mn 為 4 之倍數。

2005-09-07 06:28:10 補充：
嗯，我沒看清楚。我修改我的回答。

Answer 5

這應該是直角三角形的公式吧?!

如果訂c是斜邊的話,a,b就是兩邊
最簡單的例子應該就是
斜邊是5,即c=5
a=3
b=4
因為只要證明a,b其中一邊是四的倍數,那就設b=4, 也是4的倍數
那a=3, 是3的倍數
3^2 + 4^2 =5^2
9 + 16 = 25