連續n個正整數的乘積為n！的倍數的證明

Question

在下高中時沒學過這種雙重的數學歸納法，所以使用得沒什麼信心，特來求教，我的證明對不對呢？證明連續n個正整數的乘積為n！的倍數(n為正整數)首先，顯然(j+1)*(j！的倍數)會成為(j+1)！的倍數(j為正整數)當n=1時，顯然「連續1個正整數的乘積為1！的倍數」成立。當n=2時，「連續2個正整數的乘積為2！的倍數」也成立。(因為連續兩數必有一數為偶數，其乘積為偶數)假設當n=j時，「連續j個正整數的乘積為j！的倍數」成立。當n=j+1時，(以下之目標在於證明連續(j+1)個正整數乘積為(j+1)！的倍數)考慮以下(j+1)個數的乘積(a為正整數)：a(a+1)(a+2)(a+3).....(a+j)當a=1時，1*2*3*....(j+1)=(j+1)！，為(j+1)！的倍數假設當a=k時，k(k+1)(k+2)(k+3).....(k+j)為(j+1)！的倍數，令其為(j+1)！*t(t為正整數)當a=k+1時，(k+1)(k+2)(k+3)....(k+j)(k+j+1)=k(k+1)(k+2)(k+3)....(k+j)  +  (j+1)(k+1)(k+2)(k+3)....(k+j)=(j+1)！*t  +  (j+1)*(連續j個正整數的乘積)=(j+1)！*t  +  (j+1)*(j！的倍數)=(j+1)！*t  +  (j+1)！的倍數=(j+1)！的倍數因此「連續(j+1)個正整數乘積為(j+1)！的倍數」恆成立，因此「連續n個正整數的乘積為n！的倍數」恆成立。

Answer 1

你的意思是說12是6的倍數，也是3的倍數，也是2的倍數，也是4的倍數，那12就是6*3*4*2的倍數嗎？
好像不太對吧！

2005-09-08 18:00:29 補充：
有點矛盾喔！
當a=k+1時，你只知 k(k+1)(k+2)(k+3).....(k+j)為(j+1)！的倍數，並不能說
(k+1)(k+2)(k+3)....(k+j)為 (j！)的倍數，雖然(k+1)(k+2)(k+3)....(k+j)為連續j個正整數的乘積，但不能說就是(j！)的倍數，因為這正是你要證明的。

2005-09-08 22:25:24 補充：
克勞棣：
沒錯，你是對的。

2005-09-08 22:44:34 補充：
假設當n=j時，「連續j個正整數的乘積為j！的倍數」成立。
接著要證明當n=j+1時成立，前面的假設成立是可以拿來用的。

你是對的！

Answer 2

到下面的網址看看吧

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Answer 3

小明大帥哥：
你說的我當然想過，問題是這是錯的。
(n-1),(n-2),(n-3),(n-4).....1的倍數,
並不能推論就是1.2.3.4.....(n-1).n=n!的倍數.
你看60是1,2,3,4,5,6的公倍數，但是60並非6!=720的倍數。

2005-09-08 22:05:26 補充：
Leaster：
沒矛盾呀！這是雙重的數學歸納法。
「連續n個正整數乘積為n！的倍數」
我確定n=1和n=2時都成立，於是假設
n=j時成立，用n=j的結果去證明n=j+1也成立。
連續j個正整數的乘積是(j！)的倍數。這正是n=j的結果，為何我不能用它？我需要證明的是n=j+1成立吧？

2005-09-08 22:17:52 補充：
我換個方法寫給你看好了。
(1)證明連續2個正整數的乘積為2！的倍數。連續兩正整數必有一數為偶數，其乘積為偶數。得證。

2005-09-08 22:18:01 補充：
(2)證明連續3個正整數的乘積為3！的倍數。
考慮a(a+1)(a+2)
當a=1時，1*2*3=3！，為3！的倍數

假設當a=k時，k(k+1)(k+2)為3！的倍數，令其為3！*t(t為正整數)

當a=k+1時，
(k+1)(k+2)(k+3)
=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)
=3！*t+3*(連續2個正整數的乘積)
=3！*t+3*(2！的倍數)---引用證明(1)的結論
=3！*t+3！的倍數
=3！的倍數

2005-09-08 22:21:00 補充：
(3)證明連續4個正整數的乘積為4！的倍數。
考慮a(a+1)(a+2)(a+3)
當a=1時，1*2*3*4=4！，為4！的倍數

假設當a=k時，k(k+1)(k+2)(k+3)為4！的倍數，令其為4！*t(t為正整數)

當a=k+1時，
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3)
=4！*t+4*(連續3個正整數的乘積)
=4！*t+4*(3！的倍數)---引用證明(2)的結論
=4！*t+4！的倍數
=4！的倍數

2005-09-08 22:24:30 補充：
(4)證明連續5個正整數的乘積為5！的倍數。
考慮a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)
當a=1時，1*2*3*4*5=5！，為5！的倍數

假設當a=k時，k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)為5！的倍數，令其為5！*t(t為正整數)

當a=k+1時，
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)
=k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+5(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=5！*t+5*(連續4個正整數的乘積)
=5！*t+5*(4！的倍數)---引用證明(3)的結論
=5！*t+5！的倍數
=5！的倍數
一直重複寫下去.....

2005-09-08 22:40:52 補充：
Leaster：
謝謝你的肯定。
不過這題還有個很無賴的證明，很短，但是證出來一點成就感都沒有。