試問平行公設

Question

聽說在1901年，有人證實了平行公設無法證明，因此平行公設確定為公設，請問是誰，還有他是如何證明的

部分知道也可以

Answer 1

歐幾里得的《幾何原本》是第一次數學危機的產物。儘管它有種種缺點和毛病，畢竟兩千多年來一直是大家公認的典範。尤其是許多哲學家，把歐幾里得幾何學擺在絕對幾何學的地位。十八世紀時，大部分人都認為歐幾里得幾何是物質空間中圖形性質的正確理想化。特別是康德認為關於空間的原理是先驗綜合判斷，物質世界必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。

既然是完美的，大家希望公理、公設簡單明白、直截了當。其他的公理和公設都滿足了上面的這個條件，唯獨平行公設不夠簡明，像是一條定理。

歐幾里得的平行公設是：每當一條直線與另外兩條直線相交，在它一側做成的兩個同側內角的和小於兩直角時，這另外兩條直線就在同側內角和小於兩直角的那一側相交。

在《幾何原本》中，證明前28個命題並沒有用到這個公設，這很自然引起人們考慮：這條囉哩囉嗦的公設是否可由其他的公理和公設推出，也就是說，平行公設可能是多餘的。

之後的二千多年，許許多多人曾試圖證明這點，有些人開始以為成功了，但是經過仔細檢查發現：所有的證明都使用了一些其他的假設，而這些假設又可以從平行公設推出來，所以他們只不過得到一些和平行公設等價的命題罷了。

到了十八世紀，有人開始想用反證法來證明，即假設平行公設不成立，企圖由此得出矛盾。他們得出了一些推論，比如「有兩條線在無窮遠點處相交，而在交點處這兩條線有公垂線」等等。在他們看來，這些結論不合情理，因此不可能真實。但是這些推論的含義不清楚，也很難說是導出矛盾，所以不能說由此證明了平行公設。

從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。

首先，要能從二千年來證明平行公設的失敗過程中看出這個證明是辦不到的事，並且這種不可能性是可以加以證實的；其次，要選取與平行公設相矛盾的其他公設，也能建立邏輯上沒有矛盾的幾何。這主要是羅巴切夫斯基的開創性工作。

要認識到歐幾里得幾何不一定是物質空間的幾何學，歐幾里得幾何學只是許多可能的幾何學中的一種。而幾何學要從由直覺、經驗來檢驗的空間科學要變成一門純粹數學，也就是說，它的存在性只由無矛盾性來決定。雖說象蘭伯特等人已有這些思想苗頭，但是真正把幾何學變成這樣一門純粹數學的是希爾伯特。

這個過程是漫長的，其中最主要的一步是羅巴切夫斯基和波耶分別獨立地創立非歐幾何學，尤其是它們所考慮的無矛盾性是歷史上的獨創。後人把羅氏幾何的無矛盾性隱含地變成歐氏幾何無矛盾性的問題。這種利用「模型」和證明「相對無矛盾性」的思想一直貫穿到以後的數學基礎的研究中。而且這種把非歐幾何歸結到大家一貫相信的歐氏幾何，也使得大家在接受非歐幾何方面起到重要作用。

應該指出，非歐幾何為廣大數學界接受還是經過幾番艱苦鬥爭的。首先要證明第五公設的否定並不會導致矛盾，只有這樣才能說新幾何學成立，才能說明第五公設獨立於別的公理公設，這是一個起碼的要求。

當時證明的方法是證明「相對無矛盾性」。因為當時大家都承認歐幾里得幾何學沒有矛盾，如果能把非歐幾何學用歐幾里得幾何學來解釋而且解釋得通，也就變得沒有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得幾何學中相應的東西，公理和定理也可用相應歐幾里得幾何學的公理和定理來解釋，這種解釋叫做非歐幾何學的歐氏模型。

對於羅巴切夫斯基幾何學，最著名的歐氏模型有意大利數學家貝特拉米於1869年提出的常負曲率曲面模型；德國數學家克萊因於1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函數解釋的單位圓內部模型。這些模型的確證實了非歐幾何的相對無矛盾性，而且有的可以推廣到更一般非歐幾何，即黎曼創立的橢圓幾何學，另外還可以推廣到高維空間上。

因此，從十九世紀六十年代末到八十年代初，大部分數學家接受了非歐幾何學。儘管有的人還堅持歐幾里得幾何學的獨特性，但是許多人明確指出非歐幾何學和歐氏幾何學平起平坐的時代已經到來。當然也有少數頑固派，如數理邏輯的締造者弗雷格，至死不肯承認非歐幾何學，不過這已無關大局了。

非歐幾何學的創建對數學的震動很大。數學家開始關心幾何學的基礎問題，從十九世紀八十年代起，幾何學的公理化成為大家關注的目標，並由此產生了希爾伯特的新公理化運動。

Answer 2

意大利的〝意〞寫錯了