調和數列之證明

Question

設a.b.c成調和數列
試證
a/b+c-a,b/c+a-b,c/a+b-c
成調和數列

Answer 1

a,b,c呈調和數列，表示1/a,1/b,1/c呈等差數列2/b=1/a+1/c=(a+c)/ac2ac=b(a+c)a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/(a+b-c)先取倒數，(b+c)/a-1,(c+a)/b-1,(a+b)/c-12[(c+a)/b-1]-[(b+c)/a-1]-[(a+b)/c-1]=2(c+a)/b-[c(b+c)+a(a+b)]/ac=2(c+a)/b-[b(c+a)+(c2+a2)]/ac=2(c+a)/b-[2ac+(c2+a2)]/ac=2(c+a)/b-(c+a)2/ac=(c+a)[2/b-(c+a)/ac]=(c+a)*0=0因此，(b+c)/a-1,(c+a)/b-1,(a+b)/c-1呈等差數列，故a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/(a+b-c)呈調和數列。