除得餘數問題

Question

10^101-2X10^10被111除得餘數為何

這題最簡單的算法怎算阿

我只知道老師說令X=10
==>X^101-2X^10/(X^2+X+1)

但是我不知道(X^2+X+1)怎來的耶 而且老師說可以用X^3-1除
X^3-1如何來的??

Answer 1

餘數是80這題等於求x101-2x10除以x2+x+1的餘式令x101-2x10=p(x)*(x2+x+1)+q(x)兩邊同乘x-1(x-1)(x101-2x10)=p(x)*(x-1)(x2+x+1)+(x-1)*q(x)=p(x)*(x3-1)+(x-1)*q(x)把x3=1代入(x-1)(x2-2x)=(x-1)*q(x)q(x)=x2-2x，因為最高次是2次，所以用x2+x+1再除一遍，得到餘式是-3x-1所以x101-2x10除以x2+x+1的餘式為(-3x-1)x用10代入，10101-2*1010除以111餘(-3)*10-1=-31但是餘數不能為負，所以最後的餘數是-31+111=80-----------------------------------------------------------以下是參考的，不懂沒關係用同餘式寫的話，我們知道a≡b(mod m)←→ac≡bc(mod mc)    其中a,b為整數，m,c為正整數假設10101-2*1010≡k(mod 111)則9*(10101-2*1010)≡9k(mod 9*111)9*(100*100033-2*10*10003)≡9k(mod 999)9*(100*1-2*10*1)≡9k(mod 999)9*80≡9k(mod 999)80≡k(mod 111)k=80

Answer 2

阿@@ 抱歉 混在一起了 哈哈@@

Answer 3

令10 =>x，則原式=x101-2x10當 x=10代入 x2+x+1, 可得 x2+x+1=111故可以將原式除以(x2+x+1)，再將x=10代入所得的餘式(一次式)中即可又，x3-1可因式分解成 (x-1)(x2+x+1)故 x101-2x10 =(x2+x+1)．商+一次餘式r(x)　　　　　　=(x-1)(x2+x+1)．［商/(x-1)］+一次餘式r(x)　　　　　　=(x3-1)．［商/(x-1)］+一次餘式r(x)先令x3=1代入，得r(x)=(x3)33．x2-2(x3)3．x=133．x2-2．13．x=x2-2x．．．＊再令x2+x+1=0 => x2=-x-1 代入上式＊，得r(x)=(-x-1)-2x=-3x-1所以再用x=10代入r(x)，得r(10)=-3×10-1=-31

Answer 4

看不懂你在寫啥，好亂
因為不知道X是未知數還是乘號＝　＝