神奇的畢氏定理規律？！

Question

3 4 5 ， 3平方=4+5 ， 5 12 13 ， 5 平方=12+13 ，
7 24 25， 7平方=24=25.....
且前面平方的數皆為「奇數」， 這是為什麼呢？ ﹝盡可能用一位國中生能了解的數學〉 thanks~~

8 15 17，8^2+15^2=17^2；12 35 37，12^2+35^2=37^2.....，且好像只要最後兩數差2即可符合以上規律，WHY？

Answer 1

只能說是巧合吧
如果真的要說什麼原理的話
可以從因式分解來解釋

我們都知道畢氏定理是 : a^2+b^2=c^2
所以如果我們把a當作最小的數 : a^2=c^2-b^2
利用因式分解 : a^2=(c+b)(c-b)
所以會發生這種神奇情況只會發生在比較大的那兩個數相差 1 的時候
那為什麼只有發生在奇數勒
因為兩個連續整數(因為相差1)相加一定是奇數
再乘上1還是奇數
原因就是如此

但是如果說最小的數是奇數的情況下是否一定會有這種情形發生就不一定了
這牽涉到充分條件與必要條件問題
也就是假設事件A : 符合畢氏定理的三個數有以上的神奇規律
　　　　　事件B : 符合畢氏定理的三個數最小的那個數是奇數
則A→B是OK的
可是B→A就可能會發生問題了
通常這種情況下會以找反例來解決
下列提供一個反例 : 39　80　89
~END~

Answer 2

你把一個大於等於3的數字,平方後,拆成兩個相差1的數對,則這3個數字就是畢達哥拉數,如3的平方等於9,拆成4和5,則(3,4,5)就是畢達哥拉數,又7的平方等於49,拆成24和25,則(7,24.25)也是畢達哥拉數,你也可以在前面加個倍數,如2*(3,4,5)=(6,8,10)
證明不難,設一數為k=2n+1(n為正整數) k^2=(4n^2+4n+1) a=2n^2+2n+1,b=2n^2+2n
則a^2=k^2+b^2把它乘開嫌麻煩的話,移項a^2-b^2=(a+b)*(a-b)=(2n^2+2n+1+2n^2+2n)*(2n^2+2n+1-2n^2-2n)=(4n^2+4n+1)*1=(2n+1)^2=k^2

Answer 3

你的問題真的很奇特@@"
我都研究所畢業在當高中數學老師了也沒發現過這個問題...

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列出連續正整數的平方即可發現
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225.....
你會發現到,他們每隔"一項"的差(d)為3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31....
公差為2
當差可以為"完全平方數"時,就可以找到滿足畢氏定理的一組數字了
例如: 當d=9 (25-16), 此時 c=3,b=4,a=5
..........當d=25 (169-144),此時 c=5,b=12,a=13
..........當d=49 (625-576),此時 c=7,b=24,a=25
..........當d=81 (1681-1600),此時 c=9,b=40,a=41

教你找"較大兩數差為 1"的畢氏定理數字更快的方法~
3平方 = 9,9除2(公差)=4.5,取左右端點,得4和5 --> 3,4,5
5平方 =25,25除2=12.5,取左右端點,得12和13 --> 5,12,13
7平方 =49,49除2=24.5,取左右端點,得24和25 --> 7,24,25
9平方 =81,81除2=40.5,取左右端點,得40和41 --> 9,40,41
11平方 =121,121除2=60.5,取左右端點,得60和61 --> 11,60,61
13平方 =169,169除2=84.5,取左右端點,得84和85 --> 13,84,85

以此類推~即可找到部分滿足畢氏定理的數字了!!

至於為什麼要這樣找,其實只要用複雜一點的代數運算即可發現規則!
但是你才國一...這部分我就不多做說明了!
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找"較大兩數差為 2"的畢氏定理數字的方法~
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225.....
你會發現到,他們每隔"兩項"的差(d)為8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64..
公差為4
當差可以為"完全平方數"時,就可以找到滿足畢氏定理的一組數字了
4平方=16,16除4(公差)=4,取左右端點,得3和5, --> 3,4,5...(已找過)
6平方=36,36除4=9,取左右端點,得8和10, --> 6,8,10.........(3,4,5的倍數)
8平方=64,64除4=16,取左右端點,得15和17, --> 8,15,17...(未找過)
10平方=100,100除4=25,取左右端點,得24和26, --> 10,24,26(5,12,13的倍數)
12平方=144,144除4=36,取左右端點,得35和37, --> 12,35,37(未找過)

以此類推...用 8,12,16,20...(四的倍數)下去找,就會找到"新的"畢氏定理數字組合
(用其他非四倍數的找會找到用奇數差已經找過的數字之倍數)!
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解釋到這裡,只能說你的結論是錯誤的!只是巧合~
例如(12,35,37),12平方不等於35+37
12也不是奇數!

我承認有點複雜...不過如果你動筆算一算~動腦想一想~
你會得到很多有趣的發現^^"

2005-08-19 00:21:35 補充：
恩恩@@" 的確...
不過話說回來~
以前還真沒想過這個問題...
這裡果然是知識+阿!! ^^"

Answer 4

不一定好嗎？82+152=172122+352=372之所以(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)會這樣，也就是較大兩數差1，且和恰為最小數的平方，且最小數是奇數，是因為這三組國中最常背誦的畢氏數恰好都符合下列的式子：a=tb=(t2-1)/2c=(t2+1)/2t用3以上的奇數代進去，都會使a2+b2=c2成立(很容易證明)；但相反地，使a2+b2=c2成立的a,b,c未必符合這個式子(如上例)，所以這個式子無法找出「所有的」畢氏數。可以找出「所有的」畢氏數的式子是：a=m2-n2b=2mnc=m2+n2這是可以證明的。(但是我看過又忘了.....抱歉)令m=(t+1)/2，n=(t-1)/2就可以得到上面那個t的式子，所以t的式子是特例，並非全部。

2005-08-19 00:11:35 補充：
浮雲：
較大的兩數差2，用這個參數式去找即可：
a=2m
b=m^2-1
c=m^2+1

Answer 5

照你這ㄇ一說~真ㄉ很神奇耶!~
讀到高三了~也沒注意過過這個問題!~@@"