等差級數總和公式是高斯發明的嗎？

Question

那個德國天才小孩的故事大家都聽過了。
但是等差級數總和公式是高斯發明的嗎？
我覺得應該不是吧？！
有沒有人能提供他之前已有這個公式的資料？

是高斯自己想到的(沒有人教他)，並不代表他是人類有史以來第一個想到的吧！

陸奧99：
儘管如此，我還是不相信首尾相加法是Gauss發明的，因為此法可說是級數總和運算最沒有技巧的第二名了，僅次於一項一項依序相加。如果首尾相加法是Gauss發明的，那幾乎可以確定數列和級數的大部分重要理論，包括等比級數總和公式、分項對消法、Σn^2、Σn^3，以及無窮級數的發散與收斂、有界、總和公式等等，都不會在Gauss之前發展出來，可是我記得Euler知道無窮等比級數總和公式是a/(1-r)，甚至於他還導出π的一個無窮級數表示法，這是一個連Σn公式都不知道的人作得到的嗎？
所以我不相信Σn公式是Gauss在1787年首創的。

Answer 1

告訴你偉大數學家高斯(Gauss)是如何想到的吧！以1加到10為例。
令 1 + 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+10=S
+)10+ 9+ 8+ 7+ 6+ 5+ 4+ 3+ 2+ 1=S
------------------------------------------
> 11+11+11+11+11 +11+11+11+11=2S
上式共有10個11，所以2S=11*10，但是我們要求的是S，
因此，S=(11*10)/2=55
注意，S=((1+10)*項數)/2=((首項+末項)*項數)/2
還有，這的確是高斯解決的，當初原本是高斯的老師出個小問題給全班做，但是高斯很快就給出答案，於是老師就故意出幾個連續很大的數給高斯做，但沒想到卻考不倒他。
千萬別把這個當成公式，知道原理後，一切都豁然開朗。

2005-08-17 06:53:46 補充：
雖然說並沒有文憲說明高斯是人類史上第一個想到的，但是也沒有文憲說明在他之前更早有人想到，至少文獻資料找不到，而現今我們所以用的所謂"公式"也的的確確是運用高斯當時的概念。你這補充的問題就好像是說，微積分是牛頓發明的嗎？還是尼布萊之發明的？或是有人在更早之前發明？文獻記載上，只說明是牛頓漢尼布萊之同時發現，要說有沒有更早的‧‧誰知道啊！說不定有個不為人知的傢伙早在西元前就已經知道微積分，但是還沒公諸於世就趴了。

2005-08-17 20:09:32 補充：
克勞棣，我想我錯怪你了，我以為你是來亂的，但是我看到你的意見後知道你為何有疑問了，其實當時高斯的算術老師比特納叫高斯求的不是1加到100，我來說說這個故事吧！

2005-08-17 20:09:48 補充：
比特納是一位為人粗暴的老師，他開辦了算術班，每個學生都很怕他，在高斯10歲那年進了算術班，這是一個初級班，學生從未學過算術，比特納出了一道很長的加法難題，他自己能再幾秒鐘之內用一公式來算出這題答案，題目是：81297+81495+81693+...+100899其中遞增值均為198，項數100，求相加之和。當所有學生都吃力解答時，高斯已經求出答案，比特那看到高斯的答案十分驚訝，並詢問他是如何求得的，高斯在那時就發現了等差級數的對偁性，高斯晚年時還很喜歡提起這件事。

2005-08-17 20:09:55 補充：
我想高斯的老師他自己有一套方法來求出答案，但是應該不是我們現今所採用的方法，要求合的方法很多(心算也可以求)，但我們所用的方法確實是高斯所用的。
我想這樣應該回答你的問題了吧！^^

2005-08-19 00:34:32 補充：
克勞棣：
首先我很感謝你讓我看了一本我買了很久但從沒注意看過的書【大數學家】，書中都是在講各個偉大數學家的故事，對於你的問題我做以下回答，其實Euler的心算能力很強，在他全盲時，他的兩位學生在算很複雜的收斂級數17項的和，結果只在第50項上差一個單位數，而且Euler的無窮級數表示法是利用長除法將1除以x-1得到1/(x-1)=(1/x)+(1/x^2)+...，並且他自己用x=1/2帶入發現，-2=2+4+8+...，是很大的矛盾，所以才討論收斂關係。不過我想，你的問題確實還是有其爭議性在。

Answer 2

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Answer 3

高斯

高斯－被譽為「數學王子」的德國大數學家，物理學家和天文
　　　 學家。

　　德國大數學家高斯 ( Carl Friedrich Gauss 1777-1855 ) 是德國最偉
大，最傑出的科學家，如果單純以他的數學成就來說，很少在一門
數學的分支裡沒有用到他的一些研究成果。

　　　　　　

貧寒家庭出身

　　高斯的祖父是農民，父親除了從事園藝的工作外，也當過各色
各樣的雜工，如護堤員、建築工等等。父親由於貧窮，本身沒有受
過什麼教育。

　　母親在三十四歲時才結婚，三十五歲生下了高斯。她是一名石
匠的女兒，有一個很聰明的弟弟，他手巧心靈是當地出名的織綢能
手，高斯的這位舅舅，對小高斯很照顧，有機會就教育他，把他所
知道的一些知識傳授給他。而父親可以說是一名”大老粗”，認為
只有力氣能掙錢，學問對窮人是沒有用的。

　　高斯在晚年喜歡對自己的小孫兒講述自己小時候的故事，他說
他在還不會講話的時候，就已經學會計算了。

　　他還不到三歲的時候，有一天他觀看父親在計算受他管轄的工
人們的周薪。父親在喃喃的計數，最後長嘆的一聲表示總算把錢算
出來。

　　父親唸出錢數，準備寫下時，身邊傳來微小的聲音：「爸爸！
算錯了，錢應該是這樣.....。」

　　父親驚異地再算一次，果然小高斯講的數是正確的，奇特的地
方是沒有人教過高斯怎麼樣計算，而小高斯平日靠觀察，在大人不
知不覺時，他自己學會了計算。

　　另外一個著名的故事亦可以說明高斯很小時就有很快的計算能
力。當他還在小學讀書時，有一天，算術老師要求全班同學算出以
下的算式：
　　1 + 2 + 3 + 4 + ....+ 98 + 99 + 100 = ?
在老師把問題講完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地寫下答
案5050，而其他孩子算到頭昏腦脹，還是算不出來。最後只有高斯
的答案是正確無誤。

　　原來　　1 +100= 101
　　　　　　2 + 99 = 101
　　　　　　3 + 98 = 101
　　　　　　　.
　　　　　　　.
　　　　　　　.
　　　　　 50 + 51 = 101

　　前後兩項兩兩相加，就成了50對和都是 101的配對了
即 101 × 50 = 5050。

　　按：今用公式
　　　　　　　　　
　　　　表示　1 + 2 + ... + n

　　高斯的家裡很窮，在冬天晚上吃完飯後，父親就要高斯上
床睡覺，這樣可以節省燃料和燈油。高斯很喜歡讀書，他往往
帶了一梱蕪菁上他的頂樓去，他把蕪菁當中挖空，塞進用粗棉
捲成的燈芯，用一些油脂當燭油，於是就在這發出微弱光亮的
燈下，專心地看書。等到疲勞和寒冷壓倒他時，他才鑽進被窩
睡覺。

　　高斯的算術老師本來是對學生態度不好，他常認為自己在
窮鄉僻壤教書是懷才不遇，現在發現了「神童」，他是很高興
。但是很快他就感到慚愧，覺得自己懂的數學不多，不能對高
斯有什麼幫助。

　　他去城裡自掏腰包買了一本數學書送給高斯，高斯很高興
和比他大差不多十歲的老師的助手一起學習這本書。這個小孩
和那個少年建立起深厚的感情，他們花許多時間討論這裡面的
東西。

　　高斯在十一歲的時候就發現了二項式定理 ( x + y )n的一般
情形,這裡 n可以是正負整數或正負分數。當他還是一個小學生
時就對無窮的問題注意了。

　　有一天高斯在走回家時，一面走一面全神貫注地看書，不
知不覺走進了布倫斯維克 ( Braunschweig ) 宮的庭園，這時布倫
斯維克公爵夫人看到這個小孩那麼喜歡讀書，於是就和他交談
，她發現他完全明白所讀的書的深奧內容。

　　公爵夫人回去報告給公爵知道，公爵也聽說過在他所管轄
的領地有一個聰明小孩的故事，於是就派人把高斯叫去宮殿。

　　費迪南公爵 ( Duke Ferdinand ) 很喜歡這個害羞的孩子，也
賞識他的才能，於是決定給他經濟援助，讓他有機會受高深教
育，費迪南公爵對高斯的照顧是有利的，不然高斯的父親是反
對孩子讀太多書，他總認為工作賺錢比去做什麼數學研究是更
有用些，那高斯又怎麼會成材呢？

高斯的學校生涯

　　在費迪南公爵的善意幫助下，十五歲的高斯進入一間著名
的學院（程度相當於高中和大學之間）。在那裡他學習了古代
和現代語言，同時也開始對高等數學作研究。

　　他專心閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日這些歐洲著名數學家的
作品。他對牛頓的工作特別欽佩，並很快地掌握了牛頓的微積
分理論。

　　1795年10月他離開家鄉的學院到哥庭根 ( Gottingen )去念大
學。哥庭根大學在德國很有名，它的豐富數學藏書吸引了高斯
。許多外國學生也到那裡學習語言、神學、法律或醫學。這是
一個學術風氣很濃厚的城市。

　　高斯這時候不知道要讀什麼系，語言系呢還是數學系？如
果以實用觀點來看，學數學以後找生活是不大容易的。

　　可是在他十八歲的前夕，現在數學上的一個新發現使他決
定終生研究數學。這發現在數學史上是很重要的。

　　我們知道當 n ≧ 3 時，正 n 邊形是指那些每一邊都相等，
內角也一樣的 n 邊多邊形。

　　希臘的數學家早知道用圓規和沒有刻度的直尺畫出正三、
四、五、十五邊形。但是在這之後的二千多年以來沒有人知道
怎麼用直尺和圓規構造正十一邊、十三邊、十四邊、十七邊多
邊形。

　　還不到十八歲的高斯發現了：一個正 n 邊形可以用直尺和
圓規畫出當且僅當 n 是底下兩種形式之一：
　　
　　　　　k= 0,1,2, ...

　　十七世紀時法國數學家費馬 ( Fermat ) 以為公式
在 k = 0, 1, 2, 3, ....給出素數。（事實上，目前只確定 F0,F1,F2,F4
是質數，F5不是）。

　　高斯用代數方法解決了二千多年來的幾何難題，而且找到
正十七邊形的直尺與圓規的作法。他是那麼的興奮，因此決定
一生研究數學。據說，他還表示希望死後在他的墓碑上能刻上
一個正十七邊形，以紀念他少年時最重要的數學發現。

　　1799年高斯呈上他的博士論文，這論文證明了代數一個重
要的定理：任何一元代數方程都有根。這結果數學上稱為”代
數基本定理”。

　　事實上在高斯之間有許多數學家認為已給出了這個結果的
證明，可是沒有一個證是嚴密的，高斯是第一個數學家給出嚴
密無誤的證明，高斯認為這個定理是很重要的，在他一生中給
了一共四個不同的證明。高斯沒有錢印刷他的學位論文，還好
費迪南公爵給他錢印刷。

　　二十歲時高斯在他的日記上寫，他有許多數學想法出現在
腦海中，由於時間不定，因此只能記錄一小部份。幸虧他把研
究的成果寫成一本叫＜算學研究＞，並且在二十四歲時出版，
這書是用拉丁文寫，原來有八章，由於錢不夠，只好印七章，
這書可以說是數論第一本有系統的著作，高斯第一次介紹”同
餘”這個概念。

Answer 4

那高斯那位偷懶的老師又怎麼知道答案是5050呢？從1加到100嗎？我不太相信他有這麼無聊，閒到作這種蠢事。

Answer 5

我讀到文章是寫說--高斯小時候發明的
當他還在小學讀書時，有一天，算術老師要求全班同學算出以下的算式:

1+2+3+4+......+98+99+100=?

在老師把問題講完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地寫下答案5050，而其他孩子算到頭昏腦脹，還是算不出來。最後只有高期的答案是正確無誤。

另一個網頁 http://content.edu.tw/junior/math/tn_kh/store.htm#高斯

不過裡面只有寫到發明這個方法 但是公式是誰推演出來的 就不知道了