歐幾里得的平行設準？

Question

已知一個線段與兩條線交會，所形成的同側內角和小於兩個直角，則這兩條線最中必定會(在線段的那一側)交會。

到底什ㄇ是設準？定義是什ㄇ？為什ㄇ要叫設準ㄋ？而這條設準又有什ㄇ瑕疵？請各位大大幫忙一下喔～

Answer 1

設準又譯為公設.

在《幾何原本》的 10 條公理當中，第五公設是最具爭議性的一條。其餘的 9 條公理都非常直觀，而且敘述簡短，相比之下第五公設顯得格格不入。我們有理由相信歐幾里得本人也不太喜歡這條公設，大家請看以下的統計：

最早引用的命題
公設一 命題 1
公設二 命題 2
公設三 命題 1
公設四 命題 14
公設五 命題 29
公理一 命題 1
公理二 命題 13
公理三 命題 2
公理四 命題 4
公理五 命題 16

從統計表可看出第五公設比其他公設、公理引用得較遲，要到命題 29 才第一次被引用。命題 1 至命題 28 包括一些重要的定理和作圖題，它們的證明有部份比命題 29 更複雜。頭28個命題不需要引用到第五公設的原因不是因為它們簡單，是歐幾里得故意將不需要用到第五公設的命題放到最前，到了命題 29 才迫不得意要用到第五公設！讓我們來看看這個關鍵性的命題 29：

《幾何原本》第一卷命題 29

一條直線與兩條平行直線相交，則所成的內錯角相等，同位角相等，且同旁內角的和等於二直角。



在上圖中，AB // CD，直線 EF 分別交 AB、CD 於 G 和 H。《幾何原本》對命題 29 的證明大意是這樣的：若同旁內角不互相，則 EF 其中一側的同旁內角之和少於二直角，於是第五公設指出線段 AB 和 CD 適當地延長後會相交，與 AB // CD 矛盾。

命題 29 是大家熟知的平行線性質，它連同命題 27、28 中的平行線判別定理可以證明很多有用的結果和作圖題，著名的例子是三角形內角和等於二直角。雖然第五公設在《幾何原本》中被引用得很少，但即使單單為了證明命題 29 這個關鍵性的命題，便已值得將它列入公理表中。根據數學史家的考證，《幾何原本》中大部份的結果在歐幾里得之前已經有人知道，但第五公設卻是歐幾里得本人想出來的。歐幾里得看出這個公設的重要性，充分顯示出他的天才！

由於第五公設那樣礙眼，從《幾何原本》問世以來，試圖用其餘 4 條公設（以及 5 條公理）證明第五公設的嘗試就已經開始。很多人確信第五公設可以被證明，可是經過了兩千多年，仍然沒有人能證明出第五公設。正如其他著名的難題一樣，有很多人曾經聲稱自己已經解決了這個問題，但結果無一例外地那些「證明」都暗中引用了不能單靠其餘公理證明的命題。越是對第五公設進行研究，就越令人感到懷疑：到底第五公設能否被證明？這兩千年間數學已發展至煥然一新的樣貌，解析幾何、微積分、微分方程及其他數學分支相繼出現，無數一流數學家在數學界大放異彩，但仍然沒有人能證明到第五公設。法國數學家達朗貝爾（1717 年至 1783 年）在 1759 年說歐幾里得第五公設是「幾何原理中的家醜」！

著名數學家勒人達（Adrien Marie Legendre，1752-1833）是千千萬萬為第五公設著迷的人之一，他花了 29 年的時間研究，發表了一個證明第五公設的嘗試。在討論他的證明之前，首先指出在研究第五公設的過程中，數學家們很早便知道很多與第五公設等價的命題，其中一個是平行公設。

平行公設

直線 L 外有一點 P，則 L 和 P 所在的平面上至多只有一條直線通過 P 而與 L 平行。

　
平行公設只說通過 P 而平行於 L 的直線最多只有一條，但沒有說過這樣的直線存在，因為存在性可以被證明而無須列為公理。現時有很多教科書都用平行公設以代替歐幾里得的第五公設，其中一個原因是平行公設避開了第五公設中「直線的一側」這個概念。雖然這個概念可以嚴格地定義，但作為一條公理其敘述應越簡潔越好。

勒人達的嘗試（證明平行公設）

設 P 為直線 L1 外一點，過 P 作 L1 的垂線交 L1 於 Q，過 P 作 PQ 的垂線 L2，於是有 L1 // L2。設 L3 是過 P 且異於 PQ 和 L2 的任一直線，我們希望證明 L1 與 L3 相交。

在直線 L3 上取一異於 P 的點 R，使得射線 PR 在射線 PQ 和以 P 為端點並在 L2 上的射線之間。在射線 PQ 的另一側取點 R' 使得 ÐQPR' = ÐQPR。留意到點 Q 在 ÐRPR' 的內部且 L1 過 Q，故直線 L1 必定與 ÐRPR' 的其中一條邊相交。若 L1 與 PR 相交，則 L1 與 L3 相交。若 L1 與 PR' 相交於 A，在射線 PR 上取點 B 使得 PB = PA，於是有（SAS），從而得知 ÐPQB 是直角，亦即 B 在 L1上。這證明了 L1 與 L2 相交。



這個證明是否正確？要回答這個問題便需要細心檢驗證明的每一步。首先，我們應定義清楚證明中每一個用詞，例如「垂直」、「角的內部」、「直線的一側」、「三角形的全等」…等等。然後我們要解釋為甚麼 L1 與 L2 同時垂直於 PQ 就必定互相平行（注意此時不可以用第五公設），要解釋為何點 R' 存在，要解釋為何 Q 在角的內部，要解釋為何 L1 通過角 RPR' 的內部的點就必定與 PR 或 PR' 相交。大家可想而知證明平行公設是多麼困難的一件事！我們不打算在這裏詳細討論勒人達的證明有甚麼漏洞，只是想指出這個證明裏面用到一些不能由第五公設以外其他公理所證明的命題。

經過了漫長的歲月，轉機終於來臨。非歐幾何的發展使研究第五公設的數學家們驚嘆不已。為了證明平行公設，人們先假定與平行公設相反的命題，然後與其他公理一起希望推導出矛盾。這樣的努力無論怎試也不成功，更意外地發展出一些與歐氏幾何截然不同的新幾何學。如果這些幾何不包含矛盾，就表示平行公設（或第五公設）與其他公理獨立，不可能由其他公理得出。人類經過長年累月的經驗，相信歐氏幾何的公理不會推出矛盾的命題。但是，我們又憑甚麼相信這些新幾何亦不包含矛盾呢？1898 年龐加萊（Poincaré）發表了一個見解，認為一個公理地建立起來的結構，如果能給它一個算術解釋，就可以相信它的相容性。因為若果這個結構包含矛盾，那麼算術中亦會出現相應的矛盾。希爾伯特完成了這種「矛盾轉移」，在《幾何基礎》中為非歐幾何給出一個算術解釋，加上人類多年來的經驗使人相信算術是相容的，所以我們應對非歐幾何抱有相同程度的信賴。這個答案已令人相當滿意。

至於《幾何原本》中的 5 條公理，有部份被希爾伯特修改後列入他的公理表中，有些則被取消。有興趣的朋友可參看附錄或有關的書籍，這裏就不再討論了。

最後不可不提的是由於《幾何原本》公理的不足，使歐幾里得無可避免地在證明中不自覺地用到一些貌似明顯的事實。特別是在關於點在直線上的次序、直線和圓的連續性等問題上歐幾里得往往採用直觀的方式作論證，例如在《幾何原本》第一卷命題 1 的證明中，他認為以相異點 A、B 為圓心和 AB 為半徑的兩個圓必定相交，這等於暗自假設了圓是連續的。


五、　總結

歐幾里得的《幾何原本》是劃時代的鉅著，雖然它裏面的結果大多數都是前人已知的，但它所採用的公理方法卻被數學家沿用至今。精心選出來的10條公理，充份顯示出歐幾里得的天才及驚人的洞察力。特別是第五公設的引入，吸引了無數一流的數學家嘗試去證明，這導致非歐幾何的出現，令我們對歐氏幾何有更深入的了解。

雖然《幾何原本》的公理系統不全，當中的證明亦有不少缺陷，但它踏出了幾何公理化突破性的一步。從《幾何原本》到《幾何基礎》，單從邏輯上看是一種堵漏補遺，但其實這代表著人類抽象思維的昇華。

歐氏幾何的平行公設曾引起數學家的持久的關注，以弄清它和其他公理、公設的關係。這個煩擾了數學家千百年的問題，終於被高斯、羅巴切夫斯基和波爾約各自獨立解決。高斯在1816年已認識到平行公設不可能在歐氏幾何其他公理、公設的基礎上證明，得到在邏輯上相容的非歐幾何，其中平行公設不成立，但由於擔心受人指責而未發表。

1825年左右，波爾約和羅巴切夫斯基分別得到同樣的結果，並推演了這種新幾何中的一些定理。羅巴切夫斯基1829年的文章《論幾何基礎》是最早發表的非歐幾何著作，因此這種幾何也稱為羅巴切夫斯基幾何。這項發現的技術細節是簡單的，但觀念的變革是深刻的，歐氏幾何不再是神聖的，數學家步入了創造新幾何的時代。

非歐幾何對人們認識物質世界的空間形式提供了有力武器，但由於它背叛傳統，創立之初未受到數學界的重視。只是當高斯有關非歐幾何的通信和筆記在他1855年去世後出版時，才因高斯的名望而引起數學家們的關注。

Answer 2

我是剛剛要看這方面的書，您所說的設準我並不知道。
定義一詞，在原本的內容簡介有提到"概念定義"
關於"已知一個線段與兩條線交會，所形成的同側內角和小於兩個直角，則這兩條線最中必定會(在線段的那一側)交會。 "是否和原本第一卷公設5相同?
在原本的內容簡介有提到"其次公理系統不完備，沒有運動、順序、連續性等公理，所以許多證明不得不借助於直觀。..........
公理系統約指數理邏輯基本概念。