抽籤機率的問題？

Question

１０個人抽籤，籤桶有１０個，其中有一個是紅色其他是綠色。請問第一個人跟第１０個人被抽到紅色的機率一樣嗎？請證明出來。

Answer 1

一樣

抽後不放回
第一個人抽到紅色：1/10
第十個人抽到紅色：9/10*8/9*7/8*6/7*5/6*4/5*3/4*2/3*1/2*1/1=1/10

抽後放回
第一個人抽到紅色：1/10(因為有9綠1紅)
第十個人抽到紅色：1/10(因為還是9綠1紅)

Answer 2

第一人抽中機率
=1/10
第二人抽中機率
=9/10(第一人槓龜機率) *1/9=1/10
第三人抽中機率
=9/10 (第一人槓龜機率)
*8/9 (第二人槓龜機率) *1/8=1/10
............以此類推
第十人抽中機率
=9/10*8/9*7/8*6/7*5/6
*4/5*3/4*2/3*1/2*1=1/10

2005-08-11 17:30:20 補充：
抽後放回了話
越早抽機率越大

Answer 3

我記得抽後放回與不放回機率是不一樣的喔

Answer 4

這是一個滿有趣的問題唷！
不管是你抽後放回，或是抽後不放回，每次抽到的機率都一次喔

假設抽後不放回～(亦可假設抽後放回)
第一次抽到紅色的機率：1/10；綠色的機率：9/10

第二次抽到紅色的機率：
第一次抽到紅色，而第二次又抽到紅色：(1/10)*(0/9) = 0
第一次抽到綠色，而第二次抽到紅色：(9/10)*(1/9) = 1/10
=> 0 + 1/10 = 1/10
..................
[建議]：你可以畫出樹狀圖來逐一證明，每一次拿到紅色的機率是一樣的

～一般性的證明～
[抽後不放回]
假設有m個紅色，n個綠色，抽後不放回
：證明第一次與第k次抽到紅色的機率是一樣的
：
step1. k = 1 ：P(第一次抽到紅色) = m / (m+n)
step2. 假設 k = d - 1 次時成立 => P(第 d - 1次抽到紅色) = m / (m+n)
step3. 當 k = d 時
=>
第 d-1次為紅色，第 d次又是紅色：[m /(m+n)]*[(m-1)/(m+n-1)]
第 d-1次為綠色，第 d次為紅色：[n /(m+n)]*[m /(m+n-1)]
P(第 d次為紅色) = [m /(m+n)]*[(m-1)/(m+n-1)] + [n /(m+n)]*[m /(m+n-1)]
= [m*(m-1) + n*m] / [(m+n)*(m+n-1)]
= [m*(m+n-1)] / [(m+n)*(m+n-1)] = m / (m+n)
故由數學歸納法得證

[抽後放回]
假設有m個紅色，n個綠色，抽後放回
：證明第一次與第k次抽到紅色的機率是一樣的
：
step1. k = 1 ：P(第一次抽到紅色) = m / (m+n)
step2. 假設 k = d - 1 次時成立 => P(第 d - 1次抽到紅色) = m / (m+n)
step3. 當 k = d 時
=>
第 d-1次為紅色，第 d次又是紅色：[m /(m+n)]*[(m)/(m+n)]
第 d-1次為綠色，第 d次為紅色：[n /(m+n)]*[m /(m+n)]
P(第 d次為紅色) = [m /(m+n)]*[(m)/(m+n)] + [n /(m+n)]*[m /(m+n)]
= [m*m + n*m] / [(m+n)*(m+n)]
= [m*(m+n)] / [(m+n)*(m+n)] = m / (m+n)
故由數學歸納法得證

可以得證，不管是抽後不放回，還是抽後放回，機率都會是一樣的
可以利用數字來試試看 !

2005-08-11 09:21:08 補充：
是ㄧ樣的，可以證明

2005-08-11 21:26:01 補充：
經過仔細反覆計算，然後再予以詳細證明，確定機率都是一樣的結果唷