繞回起點的顛倒數與平方數

Question

(一)有一個兩位數x，x^2是三位數，x^2左右顛倒後(例如148變成841)，也是個三位數的完全平方數，假設它叫做y^2，y左右顛倒後恰好等於x。求出所有的x。(有4解)

(二)有一個兩位數x，x^2是四位數，x^2左右顛倒後(例如1483變成3841)，也是個四位數的完全平方數，假設它叫做y^2，y左右顛倒後恰好等於x。證明x無解。

要有算式
不能用窮舉法(從10^2一直試到99^2，把符合的挑出來)。

Answer 1

(1)
11 * 11 = 121, 11 * 11 = 121
12 * 12 = 144, 21 * 21 = 441
13 * 13 = 169, 31 * 31 = 961
22 * 22 = 484, 22 * 22 = 484

(2)
按照題目(以下a b c d e f均為阿拉伯數字，但a b c f不為0)
(10 a + b) ^ 2 = 1000c + 100d + 10e + f (甲)
(10 b + a) ^ 2 = 1000f + 100e + 10d + c (乙)

(甲) - (乙)
(11a+11b)(9a-9b) = 999c + 90d - 90e - 999f
左式必為99的倍數；
右式如要成為99的倍數，
999c + 90d - 90e - 999f
= 990c + 9c + 99d - 9d - 99e + 9e - 990f - 9f
= (990c + 99d - 99e - 990f) + (9c - 9d + 9e - 9f)
= 99(10c + d - e - 10f) + 9 (c - d + e - f)
所以(c - d + e - f)必須成為11的倍數
那也就是原來的四位數cdef也是11的倍數
那也就是10a + b , 10b + a 必為11的倍數
於是原始的x剩下33, 44, 55, 66, 77, 88, 99這七組解
但33^2, 44^2, 55^2, 66^2, 77^2, 88^2, 99^2的結果均非迴文數
所以無解

Answer 2

999開方=31.6
則11<=X<=31 Y亦同 且0<個位數<=3
符合條件有11. 12.13.21.22.31