目前雄中雄女破不出的數學題目

Question

請問:
1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7............以此類推........+1/98+1/99+1/100=??
聽說只需要用國中學過ㄉ公式就可以解出~
求準確值,近似值不算~
麻煩各位ㄌ~

請打出算式,答案是五又幾分之幾,不是近似值

這是一條國中ㄉ題目~聽說已經有人拿去問大學教授ㄌ~還沒有得到答案~來源是....一位國中老師...........請怪它ㄅ...

可以ㄉ話.....請把所有ㄉ過程詳細列下.....並把答案也算出來(附算式)~萬分感謝唷~^^~謝謝大家ㄉ意見^^

就最新資料顯示......這份問題已經傳到大陸ㄌ......好像還沒解出來.......大家加油ㄅ......目前知道ㄉ人......根本沒幾ㄍ唷~

聽說這提要用質因數ㄑ算唷~請各位幫幫忙ㄅ~先謝謝ㄌ

Answer 1

最近很多人在問這個問題.

無限調和級數 1/1+1/2+1/3+．．．
=> 因為發散, 級數和當然是無窮大

有限調和級數 1/1+1/2+1/3+．．．+1/n
=> 沒有人找到 n項和公式. 雖然有下列公式,

1/1+1/2+1/3+．．．+1/n = γ + psi(n+1)

其中 γ ≈ 0.5772156649015328606065120900....Euler-Mascheroni constant
而 psi(n) 是 Diagamma Function. 問題是這個函數也是用無窮級數或定積分定義, 對計算有限調和級數n項和公式, 並未簡化其過程.

目前可行的方法除利用數值方法外, 可用估計法. 最簡單的是

1/(2(n+1)) + ln(n)+ γ< 1/1+1/2+1/3+．．．+1/n < 1/(2n) + ln(n)+ γ

以1/1+1/2+1/3+．．．+1/100 為例

1/(2(100+1)) + ln(100)+ 0.5772 < 1/1+1/2+1/3+．．+1/n < 1/(2*100) + ln(100)+ 0.5772

=> 5.18732 < 1/1+1/2+1/3+．．+1/100 < 5.18737

Answer 2

最好是很簡單啦>"<

Answer 3

這題很簡單耶..　考卷出過很多次了（國中）

Answer 4

小維~你說ㄉ泰勒展開式是什麼??

Answer 5

他是一個發散級數..只能求近似
值吧!

2005-08-17 21:01:31 補充：
有啦...用泰勒展開式還可以推出準確值,但是國中程度怎麼算???

2005-08-19 14:38:50 補充：
嗯...妳去查查看吧~很容易查的到的,只是看不看的懂的問題,我也不知道該怎麼解釋...

2005-08-19 14:45:29 補充：
算一算答案趨近於:ln(101),至於ln就是以e為底數，ｅ≒2.718281828459045...

Answer 6

給小stich
解得真漂亮
不過可不可以麻煩您
不要管國中或高中了
繼續把單數分母的加法介紹一下呢!

Answer 7

http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
↑這是調和級數的公式推導..
好像用到很複雜的數學..
老實說我看不懂><.

Answer 8

1/1+1/2+1/3+…+1/99+1/100
= ( 1/1+1/3+1/5+…+1/97+1/99 ) + ( 1/2+1/4+1/6+…+1/98+1/100)
= ( 1/1+1/3+1/5+…+1/97+1/99 ) + 1/2 ( 1/1+1/2+1/3+…+1/49+1/50 )
又
1/1+1/2+1/3+…+1/49+1/50
= ( 1/1+1/3+1/5+…+1/47+1/49 ) + ( 1/2+1/4+1/6+…+1/48+1/50)
= ( 1/1+1/3+1/5+…+1/47+1/49 ) + 1/2 (1/1+1/2+1/3+…+1/24+1/25 )
又
1/1+1/2+1/3+…+1/24+1/25
= ( 1/1+1/3+1/5+…+1/23+1/25 ) + ( 1/2+1/4+1/6+…+1/22+1/24)
= ( 1/1+1/3+1/5+…+1/23+1/25 ) + 1/2 (1/1+1/2+1/3+…+1/11+1/12 )
又
1/1+1/2+1/3+…+1/11+1/12
= ( 1/1+1/3+1/5+…+1/9+1/11 ) + (1/2+1/4+1/6+…+1/10+1/12)
= ( 1/1+1/3+1/5+…+1/9+1/11 ) + 1/2 (1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)
= ( 1/1+1/3+1/5+…+1/9+1/11 ) + 1/2 * 29/20

我是把分母雙數的計算省去
而且你可以發現到，只要算分母單數的，而且是累加
只要在加分母單數累加時，算到分母是11、25、49、99時記錄一下
再用上面的觀念代入算就可以
這樣比土法省大約1/3的時間
因為是國中題目，所以我只算到此
我記得分母單數的加法，有速算，不過是高中以上的課程
所以我只列到此
還有一點，上面我沒用半個公式@@

不知是否有比我更好的算法，請指教

2005-08-11 19:08:17 補充：
http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html

這個網站用的數學
很深也
複變、級數、特殊函數(gamma函數等)
洛倫級數也要一點關念
大學部的都看不懂=.=
這裏面用的數學，也許只有數學系跟物理系研究所才會用上@@

而且這個題目上來說
他的公式也只能算出小數解

Answer 9

大雄
要不然你會嗎
人家會誇張
自然就是很難

2005-08-10 16:26:16 補充：
我也覺得沒公式
應該就是土法煉鋼
因為像 1/31, 1/37, 1/41, 1/43 ,..
這類的質分數要相加就只能用土法

Answer 10

一個一個的慢慢加起來

2005-08-09 18:19:49 補充：
一個一個的慢慢加起來