一個令人發瘋的問題(數學高手請進)

Question

我有一個朋友,出了二個問題問我,我被這一個問題想到發瘋,所以想請大家幫忙解答,如果可以,能不能給我公式,感謝了.
1. 一個蘋果4元,一個橘子3元,七個橄欖一元,請問要如何用100元買100顆水果?

2. 公羊一隻吃3斤草,母羊一隻吃1.5斤草,小羊一隻吃0.5斤草,請問要如何用100頭羊吃100斤草

Answer 1

頭痛的要死
來解解數學看會不會好一點

1.蘋果x,橘子y,橄欖z
用100元: 4x+3y+z/7=100 .........(1)
買100顆: x+y+z=100 ........... (2)
(1)x7: 28x+21y+z=700 ............(3)
(3)-(2) 27x+20y=600
x=(600-20y)/27 ...........(4)
把y從0代到30，取x為整數的那個答案
x=20, y=3, z=77
x=0, y=30, z=70

2.公羊x,母羊y,小羊z
100斤草: 3x+1.5y+0.5z=100 ...........(5)
100頭羊: x+y+z=100 ...............(6)
(5)x2: 6x+3y+z=200 ..............(7)
(7)-(6): 5x+2y = 100
x=(100-2y)/5 ............(8)
基本上(8)式中
y= 0, 5, 10, 15, ...... , 50 ; x均為整數
故共有11組解

y x z
02080
51877
101674
151471
201268
251065
30862
35659
40456
45253
50050

Answer 2

設 x=蘋果, y=橘子, z=橄欖，且x,y,z必為整數！
A: 4x+3y+(1/7)z=100
B: x+y+z=100
0<=x,y,z<=100, 且z必為7的倍數7,14,21,28,.....或＝0

當z=0時 => A: 4x+3y=100, B: x+y=100
B*4-A => (x+y)*4 - (4x+3y)=100*4 - 100 => y=300 =>條件不合，所以z=0時無解
當z=7時 => A: 4x+3y=99, B: x+y=93
B*4-A => y=93*4 - 99 = 273 =>條件不合，所以當z=7時無解
..............以此類推

當z=70時 => A: 4x+3y=90, B: x+y=30
B*4-A => y=30*4 - 90=30
將此解帶入B式=> x+30=30 => x= 0 => 求得 一解 x=0, y=30, z=70
當z=77時 => A: 4x+3y=89, B: x+y=23
B*4-A => y=23*4 - 89 =3
將此解帶入B式=> x+3=23 => x= 20 => 求得一解 x=20, y=3, z=77

.........以此類推，當z=84,91和 98時，都無解！

所以，答案有二組如下：
（頻果0顆，橘子30顆，橄欖70顆）和（頻果20顆，橘子3顆，橄欖77顆）

第二題和第一題的作法完全一樣，請自行運算！

Answer 3

第一題：
有三個未知數，蘋果是a，橘子是b，橄欖是c
其中c比較特別，因為要7的倍數，才能湊成整數元
所以，可以用嘗試法，由c等於0，7，14，21，28，35.....慢慢代入下列式子中：
首先示範假設c=0的狀況，
若c=0，則4a+3b=100，a+b=100﹝如果沒有橄欖，蘋果跟橘子的總價錢是100元，個數總共也是100個﹞
得到解是a=-200，b=300﹝與題意不符﹞
若c=7，則4a+3b=99，a+b=93﹝如果橄欖有7顆，蘋果跟橘子的總價錢剩99元，個數總和是93個﹞
得的解是a=-174，b=273﹝不符﹞↓以下作法以此類推.....
.....................
若c=70，則4a+3b=90，a+b=30，得到的解是a=0，b=30
若c=77，則4a+3b=89，a+b=23，得到的解是a=20，b=3
.........以下沒有其他答案了
所以這題的解答是
蘋果0顆，橘子30顆，橄欖70顆或是
蘋果20顆，橘子3顆，橄欖77顆.........................兩組解
************************************************************
第二題方法類似，但是比較麻煩
假設公羊a隻，母羊b隻，小羊c隻
由於公羊最多只能容納33隻﹝99公斤草﹞
所以從公羊33隻說起
若公羊33隻，則1.5b+0.5c=1，b+c=67﹝吃掉99公斤草，剩1公斤草，小羊跟母羊總共有67隻﹞﹝不符﹞
若公羊32隻，則1.5b+0.5c=4，b+c=68﹝吃掉96公斤草，剩4公斤草，小羊跟母羊總共有68隻﹞﹝不符﹞↓以下作法以此類推....
.......
若公羊20隻，則1.5b+0.5c=40，b+c=80，得到解是b=0，c=80
若公羊18隻，則1.5b+0.5c=46，b+c=82，得到解是b=5，c=77
若公羊16隻，則1.5b+0.5c=52，b+c=84，得到解是b=10，c=74
若公羊14隻，則1.5b+0.5c=58，b+c=86，得到解是b=15，c=71
若公羊12隻，則1.5b+0.5c=64，b+c=88，得到解是b=20，c=68
若公羊10隻，則1.5b+0.5c=70，b+c=90，得到解是b=25，c=65
若公羊8隻，則1.5b+0.5c=76，b+c=92，得到解是b=30，c=62
若公羊6隻，則1.5b+0.5c=82，b+c=94，得到解是b=35，c=59
若公羊4隻，則1.5b+0.5c=88，b+c=96，得到解是b=40，c=56
若公羊2隻，則1.5b+0.5c=94，b+c=98，得到解是b=45，c=53
最後，若公羊0隻，則1.5b+0.5c=100，b+c=100，得到解是b=50，c=50
因此，這題的解答有以上11組解

Answer 4

1. (x,y,z)=(0,30,70) 或 (20,3,77)
x=蘋果 y=橘子 z=橄欖
2. (x,y,z)=(0,50,50), (2,45,53), (4,40,56), (6,35,59), (8,30,62), (10, 25,65), (12, 20, 68)
(14, 15, 71), (16,10, 74), (18, 5, 77), (20,0,80)任意一組
x=公羊 y=母羊 z=小羊

Answer 5

第一題 蘋果不用買了 橘子30個(90元)橄欖70個(10元)
設蘋果為X 橘子為Y 橄欖為Z(個)
X+Y+Z=100
4X+3Y+1/7Z=100
第二題 公羊沒有 母羊(吃75公斤)50隻小羊(吃25公斤)50隻
設公羊X 母羊Y 小羊Z(隻)
X+Y+Z=100
3X+1.5Y+0.5Z=100

兩題都只有兩個方程式卻有三個解 通常會有一個是0

Answer 6

身為一個社會組的學生，mit，真是佩服你 >"<，國中的時候我可能還會解這種問題，現在可沒啥法度了。

Answer 7

(1)若都買的話
蘋果X個 橘子Y個 橄欖100-(X+Y)個
依題意共100元則4X+3Y+[100-(X+Y)]/7=100
化簡得27X+20Y=600
水果一定是買整數個 只有當X=20時 Y才有整數解=3
所以得蘋果20顆 橘子3顆 橄欖100-(20+3)=77顆

若可以有些不買就加上X=0 Y=30 Z=70這組解

(2)若每一種羊都有的話
一樣設公羊X隻 母羊Y隻 小羊100-(X+Y)隻
依題意得=>3X+1.5Y+0.5[100-(X+Y)]=100
化簡得=>2.5X+Y=50
當X為偶數時Y才有整數解
X=2　Y=45　Z=53
X=4　Y=40　Z=56
X=6　Y=35　Z=59
X=8　Y=30　Z=62
X=10　Y=25　Z=65
X=12　Y=20　Z=68
X=14　Y=15　Z=71
X=16　Y=10　Z=74
X=18　Y=5　Z=77
以上都符合

若可以有某些羊不用 則加上X=0 Y=50 Z=50 與 X=20 Y=0 Z=80這兩組解

2005-08-08 01:13:18 補充：
沒什麼啦~也是有很多我解不出來的ㄚ~
我只是靈機一閃~試著算看看~就這樣算好囉!