奇數平方與兩連續整數

Question

觀察一下：

3^2=4+5
5^2=12+13
7^2=24+25
9^2=40+41
11^2=60+61
13^2=84+85
15^2=112+113

似乎一個奇數的平方，都可以寫成兩個連續數之和，為什麼？
請詳證！

Answer 1

因為奇數的平方(2K+1)*(2K+1)=(K+K+1)*(2K+1) ={K*(2K+1)}+{K*(2K+1)}+K+(K+1)={K*(2K+1)+K}+{K*(2K+1)+K+1}所以可以表示成"K*(2K+1)+K"和"K*(2K+1)+K+1"這2個連續數的和

Answer 2

奇數可表數成2n-1
(2n-1)^2
=4n^2-4n+1
=(2n^2-2n)+(2n^2-2n+1)
故奇數平方必可寫成兩個連續整數的和

Answer 3

因為任何奇數n都可表為兩連續整數(n+1)/2與(n-1)/2之和，奇數的平方還是奇數，當然也可表為兩連續整數之和。你想得太複雜了。
倒是你是否發現：
3^2=4+5→3^2+4^2=5^2
5^2=12+13→5^2+12^2=13^2
7^2=24+25→7^2+24^2=25^2
9^2=40+41→9^2+40^2=41^2
11^2=60+61→11^2+60^2=61^2
13^2=84+85→13^2+84^2=85^2
15^2=112+113→15^2+112^2=113^2
你可以自己證明看看。