關於模數(mod)能提供一些基本定理嗎

Question

Mod的基本定理越多越好

Answer 1

以下代數若無特別聲明，都是整數
若a除以正整數m所得的餘數與b除以正整數m所得的餘數相同，我們就說「a,b對模數m同餘」，用數學符號表達，寫作a≡b(mod m)。
我們易證明m│(a-b)←→a≡b(mod m)，這是同餘式最基本的性質(註一)。

同餘式可說是數論裡最重要、最普遍的工具了，我想這是因為同餘式具有類似方程式的運算規則，使得我們可以作更深入的運算，m│(a-b)這種符號雖然也可以解決若干數論問題，但它的使用仍然太受限了。比方你要知道3^100除以7的餘數，用同餘式來算就很方便。

同餘式的基本運算性質：
(1)等量加減乘法性質：
若a≡b(mod m)，其中m為正整數，c為整數，則a+c≡b+c(mod m)，a-c≡b-c(mod m)，ac≡bc(mod m)。
(2)兩式相加、相減、相乘性質：
若a≡b(mod m)，且c≡d(mod m)，其中m為正整數，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)，ac≡bd(mod m)。
(3)次方性質：
若a≡b(mod m)，其中m為正整數，則a^n≡b^n(mod m)，其中n為正整數。
(4)遞移性質：
若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，其中m為正整數，則a≡c(mod m)。
(5)代入性質：
若a≡b+c(mod m)且c≡d(mod m)，其中m為正整數，則a≡b+d(mod m)。
(6)二項式性質：
(a+b)^n≡b^n(mod a)，其中a,n為正整數
(7)總匯性質(註二)：
p*(qa+b)^n≡p*b^n(mod a)，其中a,n為正整數，p,q為整數。

註一：儘管許多人把m│(a-b)當成「a,b對模數m同餘」的定義，但我卻不這麼認為，因為m│(a-b)若是同餘的定義，我實在看不出來同餘為何叫做同餘，我看不出來它同在哪裡，又餘在哪裡，因此我堅持這是性質，而非定義。
註二：這個名字是我自己取的，非正式的，因為這個同餘式把前面的一些性質都結合起來了，具有較強的一般性，所以乾脆叫他「總匯」。

還有一個很常用的費馬小定理，不過我覺得對於剛剛認識同餘的人而言，它並不基本，所以就不寫出來了。