要如何證2的30次方減1是不是質數

Question

盡量高中的方法...

若沒有的話

大學的也可以

謝謝

Answer 1

這個數不是質數，因為可以用方法分解出他有3的因數。

首先我們可以利用國中學到的因式分解
x^6 - y^6
= (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)
= (x + y)(x^2 - xy + y^2)(x - y)(x^2 + xy + y^2)

而2^30 = (2^5)^6 = 32^6 , 1^6 = 1
所以2^30 - 1
= 32^6 - 1^6
可以分解，所以可以判斷非質數。

其實還可以利用餘數定理判斷，這個數一定3的倍數。

希望這樣的答覆對你有幫助。

Answer 2

若p是q的倍數，則(2^p-1)為(2^q-1)的倍數。
證明：
設p=nq，n為正整數
我們有a^n-1=(a-1)[a^(n-1)+a^(n-2)+......+1]
因此(a^n-1)為(a-1)的倍數
將a=2^q代入，
(2^q)^n-1=2^(nq)-1=2^p-1為2^q-1的倍數

因此，2^30-1的真因數有
2^2-1=3
2^3-1=7
2^5-1=31
2^6-1=63
2^10-1=1023
............
有這麼多的因數，當然它不會是質數了。

Answer 3

它不是質數230-1=(215+1)(215-1)所以它至少可以被(215+1)整除

Answer 4

是
2乘多少都是偶數
減一當然ㄐ數...................