特殊方程式的名稱.解法.性質！

Question

Q 請問「方程式中 各個未知數 可以互相取代 有沒有特別名稱？」

例如：
(1) a+b=5
其中a b 可以互相代替→b+a=5
(2) ab+bc+ac=10
可變成→bc+ca+ba=10，又可變成→3ab=10，3a^2=10

也就是各個未知數有著一樣的係數，而可以用未知數A取代未知數B......
而求出<其中一組>答案！

Q 請問「這種方程式有沒有特殊解法？」

例如：
有長為100cm的繩子，如何為出最大矩形 ？
解：
令長 a 寬 b
2a+2b=100
a+b=50
a=50-b
(50-b)*b=-b^2+50b=-(b-25)^2+625
→當b=25時最大面積625，a=25

你不覺得有規則嗎？

Q 請問「這些方程式的解的特殊性？」

我是覺得很多時候都可以直接用<相等>去做，上面的就是了
但，應該還會有其他性質吧？

回第一個答題者
當然例ㄧ.例二都有無限多解，而令a=b，a=b=c是因為他
們的角色再此方程式中一樣而如果要求<ㄧ解>這樣最快
至於繩子那題再國中時算了幾百次，但討厭去配方，所
以做了以下思考「每次算都是a=b如果a>b呢？一個變大
積應該也有可能變大，反之a 可能那就取=吧」之後當然有驗證過

回第一個答題者
在中庸之道後之後又遇到在河邊圍地的題目，也就是少圍ㄧ邊，其列式：2a+b=？？？我以為就不能再中庸了
但還是知道規則在2a=b有最大值→( )+{ }=...
( )={ }時( ){ }有最大值
然後這種方式在 發射物品角度→距離，邊長→面積，機率 中都蠻適用的，但也不是哪個都能說出正確原因，而我現在升高二了

第三個人的答法蠻有趣的

Answer 1

第一道題目是因為
每一個未知數在方程式的角色和份量是一樣的
但是你的答案不對喔
這是一個不定方程
三個未知數一定要三個方程式聯立才有唯一解
如果照你上面的方法算
你加了兩個條件：a=b , b=c ，這樣才有3a^2=10
ab+bc+ca=11(我改一下喔)方程式若任取三解，令
a=2,b=3,c=1，這和a=3,b=2,c=1是一樣的。

第二道題目是有名的"算幾不等式"
"算術平均數大於等於幾何平均數"
(a+b)/2 >= (ab)^(0.5) (就是根號ab)
且等號只在a=b時成立
也就是說若要使面積有最大值，就是等號時，a要等於b
其實無形中你的計算過程已用到這個定理
你可以試著證明這個定理

補充：
你可以把2a=c，用b,c再做一次算幾不等式
還有數學的"特例法"有時的確很好用
你的方法就是

Answer 2

你不喜歡配方呀！很好很好，我也不喜歡，老師叫我配，我就要配嗎？我才不那麼乖呢！
令長 a 寬 b
2a+2b=100
a+b=50
a=50-b
令b=25-x，則a=25+x
面積=ab=(25-x)(25+x)=625-x^2
因為x^2恆為正數或0，故x^2=0時，有最大值625
此時b=25-0=25，a=25+0=25

2005-08-03 17:17:18 補充：
請大家看一下這題，
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1205072817615

Answer 3

繩子的問題中，面積可以列成方程式來表示，而長（m）和闊（w）又有關係，可以寫成這樣子：

2*(m+w)=100
m=50-w

面積（a）＝m*w=(200-w)*w
=50w-w^2
這時要求它的極大，可以用微分，得
da/dw=200-2w
要求極大或極小值，da/dw=0（這便是你為何感到有規律了）
50-2w=0
w=50/2=25
∴m=25

（看到了，這便是規律，這兩個數不得不相等，因為取微分之後，成了把原本兩數的和等分為二）

微分在高中數學會學，到時可以看看那些「規律」有沒有例外。可以說，任何幾何圖形，只要是要最小的邊長（平面圖形）或表面積（立體圖形），它們要得到最大的面積或體積，它們都必定是正多邊形（或圓形或球體）。現在可以視微分為計算圖象中的斜率。