請問 ∫1/(1+ x^4) dx 怎麼算啊!
2005-07-30 07:20:52 · 4 個解答 · 發問者 相遇即是有緣 4 in 科學 ➔ 數學
本題用到因式分解、部分分式的化法（此兩項請自行演算）及兩個積分公式：
（1）∫ ｄｕ／ｕ ＝ ｌｎ｜ｕ｜＋ｃ
（2）∫ｄｕ／（ｕ^2 ＋ ａ^2） ＝ 1/ａ（arctan ｕ/ａ）＋ｃ
解： 1 ／（ｘ^4 ＋ 1）＝ 1 ／（ｘ^2＋√2ｘ＋ 1）（ｘ^2－√2ｘ＋ 1）
＝（√2ｘ/4 ＋ 1/2）／（ｘ^2＋√2ｘ＋1）－ ［（√2ｘ/4 － 1/2 ）／（ｘ^2－√2ｘ＋1）］
＝（√2/8）（2ｘ＋√2）／（ｘ^2＋√2ｘ＋1） ＋ （1/4）／（ｘ^2＋√2ｘ＋1）
－（√2/8）（2ｘ－√2）／（ｘ^2－√2ｘ＋1） ＋ （1/4）／（ｘ^2－√2ｘ＋1）
所以 ∫ｄｘ／（ｘ^4 ＋ 1）
＝∫［（√2/8）（2ｘ＋√2）／（ｘ^2＋√2ｘ＋1）］ｄｘ＋∫［（1/4）／（ｘ^2＋√2ｘ＋1）］ｄｘ－∫［（√2/8）（2ｘ－√2）／（ｘ^2－√2ｘ＋1）］ｄｘ＋∫［（1/4）／（ｘ^2－√2ｘ＋1）］ｄｘ
＝（√2/8）∫ｄ（ｘ^2＋√2ｘ＋1）／（ｘ^2＋√2ｘ＋1）－（√2/8）∫ｄ（ｘ^2－√2ｘ＋1）／（ｘ^2－√2ｘ＋1）＋∫［（1/4）／（ｘ＋√2/2）^2 ＋（√2/2）^2］ｄｘ＋∫［（1/4）／（ｘ－√2/2）^2 ＋（√2/2）^2］ｄｘ
＝（√2/8）ｌｎ｜ｘ^2＋√2ｘ＋1｜－（√2/8）ｌｎ｜ｘ^2－√2ｘ＋1｜
＋（1/4）．（1／√2/2）arctan （ｘ＋√2/2）／√2/2）
＋（1/4）．（1／√2/2）arctan （ｘ－√2/2）／√2/2）＋ｃ
＝（√2/8）ｌｎ｜ｘ^2＋√2ｘ＋1｜－（√2/8）ｌｎ｜ｘ^2－√2ｘ＋1｜
＋（√2/4）arctan（√2ｘ＋1）＋（√2/4）arctan（√2ｘ－1）＋ｃ
2005-07-31 21:12:37 補充：
對或錯？將答案微分看會不會等於原被積函數就知道了！
2005-07-30 10:02:17 · answer #1 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋
樓上給的計算方法、答案皆是錯的，完全錯誤！
我用 Maple 計算軟體作積分，以下是答案：
1/8*2^(1/2)*ln((x^2+x*2^(1/2)+1)/(x^2-x*2^(1/2)+1))+1/4*2^(1/2)*arctan(x*2^(1/2)+1)+1/4*2^(1/2)*arctan(x*2^(1/2)-1)
好複雜呀！
2005-07-31 18:58:57 補充：
請用三角函數計算積分，如：設 x = tan(x)…等！
2005-07-31 14:57:17 · answer #2 · answered by Big_John-tw 7 · 0⤊ 0⤋
這個題目的積分後函數,好像是屬於
"非初等函數",(非有限項).還有請問
加冰不加糖的解法好像少了蛇麼?
令u = x2, du= 2x dx 才對呀
少了 2x 這項
2005-07-30 10:35:24 · answer #3 · answered by 麥可 7 · 0⤊ 0⤋
Sorry...我承認我不會,也懶再算........................
圖片參考：http://www.ddc.com.tw/Images/Webowner/people0504.gif
2005-07-30 10:01:19 · answer #4 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋