7或13的餘數關係

Question

剛剛看知識+，很多人都提到了這個，但是都沒證明，證明一下吧
歸納出一套方法來算出7或13的餘數(擇其一歸納即可，歸納兩個更好)
看到別人回答問題，連證明都沒說，這樣分明是叫別人背，有點不負責
所以才會問這題

有人問到說知識+的那個方法是什麼
我簡單說明一下
由個位數開始 3個數字一組，奇數組，偶數組相減
如果是7或13的倍數則此數為7或13的倍數
第一個回答的，我看的懂，不用擔心
但是你的回答完全不嚴謹，你已經把規則列進去了
你用欲證明的規則來證，這怎能算證明？
""則如果x+z-y(若 y>x+z 則使用y-x-z)為7的倍數""
這個也請證明出來
你假設這個成立的話，其實你證明的那些也不用這樣證
那叫畫蛇添足，但我佩服你能夠想出來
只要的把規律證出來，利用之前的定理
很容易推出餘數，不用這麼麻煩

我希望能夠用數學歸納法嚴謹證明
先證明起始成立，再證明跟隨律成立
[就是推廣到所有整數=>n位的整數也適用"n→∞"]

我就過說很多人都提這個，但都沒有證明
(我自己有證過，但我覺得不夠嚴謹，所以才問的)

to 裕博
你說的我懂
不過你的證明
雖然這樣子是可以
雖然你有歸納出來，但還是不夠嚴謹
因為數學是一種精密語言
要用嚴謹的表示法來表示它
所以必須要證明出一個完整嚴謹的表示法
了解我的意思嗎？
to 克勞棣
你的證明，在計算題來說會得高分的
但是，你錯了一點，這不是考試
我要的是要如何觀察出來
如果平常我要用但是我忘記了，我忘記是三位還是四位
那麼我就必須用裕博的那個想法，我便能輕易的想起來
而不是針對證明題目來證明
你這樣做只是幫裕博不夠嚴謹的證明補充而已
了解我的意思嗎？

我問題要用這麼久的原因
就是希望能夠每個人把答案改到最完整
這樣子就差在描述，敘述方面，因為主要是要給人懂
那麼，這樣子投票投出來的結果，才算是最完善的答案
所以其他人也不用看到已經有人很完整回答了
就不回答了，你也有可能是最佳答案
我想要的是，不但是最完整的回答問題
也是好的回答模式
ex:調理清晰、邏輯思維清楚、表示法正確無誤、正確使用表示法....等等
這樣子的回答，才是真正"好的回答"

所謂的方法是這個
由個位數開始 3個數字一組，奇數組，偶數組相減
如果是7或13的倍數則此數為7或13的倍數

還有我對嚴謹的定義是嗎？
數學，要用符號表示，也就是證明出來的結果
要表示成一個表示法
例如證明算幾不等式
我們先證出2個的可以成立
再證出4個的可以成立，再證8個
可以知道證法有規律性，但是，這樣只有證到八個
我們要用符號把他表示成2^n個
也就是說，規律要寫以數學符號把表示法寫出來

Answer 1

因為1001是7和13的公倍數,且1001=(10的3次方)+1,也就是說,(10的3次方)還欠1就是7和13的公倍數了,而(10的6次方)+(10的3次方)是7和13的公倍數(1001000),既然(10的3次方)還欠1就是7和13的公倍數了,所以(10的6次方)就是7和13的公倍數再多1.同理,(10的9次方)+(10的6次方)也是7和13的公倍數(1001000000),因為(10的6次方)是7和13的公倍數多1,所以(10的9次方)是7和13的公倍數少1.
結論:(10的3次方)的奇數次方都是7和13的公倍數少1,而(10的3次方)的偶數次方都是7和13的公倍數多1
那麼奇數組就是[(10的3次方)的偶數次方],而偶數組就是[(10的3次方)的奇數次方]
我把第1組數設為A,則A代表A*[(10的3次方)的0次方]
第2組數設為B,則B代表B*[(10的3次方)的1次方],以此類推.
每有1個[(10的3次方)的偶數次方]就表示它比7和13的公倍數多1,那如果有n個[(10的3次方)的偶數次方]就表示它比7和13的公倍數多n
每有1個[(10的3次方)的奇數次方]就表示它比7和13的公倍數少1,那如果有m個[(10的3次方)的奇數次方]就表示它比7和13的公倍數少m
結果:所以某數奇數組減偶數組所得到的值若為x,則表示此數為7和13的公倍數多x

2005-07-14 22:46:14 補充：
你所說的「不夠嚴謹」,能再定義的更清楚嗎

Answer 2

"方法來算出7或13的餘數"
這句話我看不懂

Answer 3

看來你是想證明
(一)10^(6n-3)+1恆為7的倍數
(二)10^(6n)-1恆為7的倍數
(三)10^(6n-3)+1恆為13的倍數
(四)10^(6n)-1恆為13的倍數
這四件事。
因為你應該已經知道為何要加減互消了，你所不明白的是為何它可以擴充到任意多位，亦即1001、1000000001、1000000000000001.....恆為7(或13)的倍數，
999999、999999999999、999999999999999999......恆為7(或13)的倍數，WHY？
很簡單，用數學歸納法
(一)
n=1時，1001是7的倍數，成立
假設n=k時成立，令10^(6k-3)+1=7p
當n=k+1時，
10^[6(k+1)-3]+1=10^(6k+3)+1=1000000*[10^(6k-3)+1][phone]
=1000000*7p-999999=7000000p-7*142857也是7的倍數
故得證

(三)
n=1時，1001是13的倍數，成立
假設n=k時成立，令10^(6k-3)+1=13q
當n=k+1時，
10^[6(k+1)-3]+1=10^(6k+3)+1=1000000*[10^(6k-3)+1][phone]
=1000000*13q-999999=13000000q-13*76923也是13的倍數
故得證

(二)
n=0時，0是7的倍數，成立
假設n=k時成立，令10^(6k)-1=7r
當n=k+1時，
10^[6(k+1)]-1=10^(6k+6)-1=1000000*[10^(6k)-1]-1+1000000
=1000000*7r+999999=7000000r+7*142857也是7的倍數
得證

(四)
n=0時，0是13的倍數，成立
假設n=k時成立，令10^(6k)-1=13s
當n=k+1時，
10^[6(k+1)]-1=10^(6k+6)-1=1000000*[10^(6k)-1]-1+1000000
=1000000*13s+999999=13000000r+13*76923也是13的倍數
得證

如果用同餘的話更快，需要的話我再補充。
如果你不明白為何要加減互消的話，我還是補充一下：
假設有一個12位數，以三位一組的方式分成ABCD四組
則原數=10^9*A+10^6*B+10^3*C+D
=1000000001A+999999B+1001C+D-A+B-C(多加的減回去，多減的加回去)
=7(或13)的倍數-A+B-C+D
所以只要判別ABCD的加減對消是否也是7(或13)的倍數即可
又根據上述(一)(二)(三)(四)，所以這個方法對多少位數都成立。

Answer 4

利用1001是7和13的倍數去證

Answer 5

能再說明嗎，我可沒看你說的知識+
所以我不知道你要問什麼