為何傅立葉級數從n=1開始而不是從n=0

Question

為何 f(t) = Ao + Σ [ An Cos(nwt) + Bn Sin(nwt) ]
之 n從 n = 1 開始
而不是 n = 0 開始

想請問, 當我不把直流正份獨立移到外面時, 下去解An 或Bn 此時有的解比如方波Bn = (1/n)[ 1-(-1)^n ] 的n會位於分母, 那頓時n將不能為零.
請問把直流移到外面是否主要是在避免分母為0的情況?

Answer 1

這是一種表示的方式.....一般是習慣將直流的成分獨立寫成 A0將交流的成分寫成 Σ[ AnCos(nwt) + BnSin(nwt) ]   此時的 n 就必須由 n=1開始如果你不將直流的成分獨立出來....那傅立葉級數就應該要寫成  f(t) = Σ [ AnCos(nwt) + BnSin(nwt) ]   此時的 n 就必須由 n=0 開始表示 換一種說法.....其實原始的表示方式是    f(t) = Σ [ AnCos(nwt) + BnSin(nwt) ] ,  n=0,1,2,3.....         = Σ [ A0Cos(0*wt) + B0Sin(0*wt) ]            +  Σ [ AnCos(nwt) + BnSin(nwt) ] , n = 1,2,3.....         = [A0*1 + B0*0]+Σ [ AnCos(nwt) + BnSin(nwt) ] , n = 1,2.....         = A0 + Σ [ AnCos(nwt) + BnSin(nwt) ]  ,  n=1,2,3...所以不同的表示式, n計算的方式自然也不同....< 補充回答 >應該是沒有這樣的意思....因為這樣的需求並不是所有的函數都有這個需要的基本上 Bn = (1/n)*[ 1-(-1)n] .....   當 n=0 時, Bn不管等於多少....都沒有任何意義....   因為 sin(nwt) = sin(0*wt) = 0....

Answer 2

事實上, 可以把 Ao移入到Σ內的cos(nwt)項, 就變成是:
f(t) = Σ [ An Cos(nwt) + Bn Sin(nwt) ] 也就是n從 n=0 開始了.
所以兩種方式都可以.