9個數學題目

Question

1.設a,b,c為自然數,且a+2b=c,3a=b+c,(a,b,c)=5,求[a,b,c]之值
2.設a,b,c為自然數,且(a,b)=5,(b,c)=2,(a,c)=3,[a,b]=30,[b,c]=120,[c,a]=120,求a,b,c三數之值
3.將1/4369+1/5941化為最簡分數後,分母為多少
4.民國88年為己卯年,則民國120年之農曆記年為何
5.設n,n/6,n^2/324,n^3/196,n^4/486均為自然數,求n的最小值
6.設a,b,c為正整數且a+3b=2c,2a^2+c^2=3b^2,[a,b,c]=300,則a,b,c三數各為多少
7.設a,b為自然數,且a＞b,若(a,b)=6且6a^2-13ab+5b^2=0,求a,b二數各為多少
8.設n為正整數且n≦240,若(n,120)=8,則符合條件的n有多少個
9.有一個六位自然數abcxyz,將這個數乘以6之後成為xyzabc,求此自然數
試證:若(h,k)=1,則(h±k,h*k)=1

Answer 1

1.設a,b,c為自然數,且a+2b=c,3a=b+c,(a,b,c)=5,求[a,b,c]之值
想法 先求出a.b.c最簡單整數比,而此時的比即是約去公因數的比,故最小公倍數=最大公因數*比的乘積
a+2b=c 3a=b+c
解聯立 -> a:b:c = 3:2:7
[a.b.c] = 5*[3*2*7]=210#

2.設a,b,c為自然數,且(a,b)=5,(b,c)=2,(a,c)=3,[a,b]=30,[b,c]=120,[c,a]=120,求a,b,c三數之值
(a.b)=5 (b.c)=2 (a.c)=3
可以寫成
a=5*3A
b=5*2B
c=2*3C

[a,b] = 30 =5[3A.2B] -> [3A.2B]=6 ->A=B=1
[b.c] = 120=2[5B.3C] -> [5B.3C]=60 -> B=1代入[5.3C]=60 ->C=4
[c.a] = 120=3[5A.2C] -> [5A.2C]=40 ->代入 合理
A=1 B=1 C=4
a=15 b=10 c=24#

3.將1/4369+1/5941化為最簡分數後,分母為多少
(4369.5941) = 1
分母=4369*5941=25956229#

4.民國88年為己卯年,則民國120年之農曆記年為何
天干 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸
地支 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥
120-88=32
32/10=3…2 ->辛
32/12=2…8 ->亥
故為辛亥年#

5.設n,n/6,n^2/324,n^3/196,n^4/486均為自然數,求n的最小值
6=2*3
324=3^4*2^2
196=2^2*7^2 =>2^3*7^3
486=2*3^5 =>2^4*3^5
(因為要整除,故要修改成質因數次方大於等於分母次方)
n=2^4*3^5*7^3#(取最高次的也就是取最小公倍數)

6.設a,b,c為正整數且a+3b=2c,2a^2+c^2=3b^2,[a,b,c]=300,則a,b,c三數各為多少
a+3b=2c,2a^2+c^2=3b^2(代入消去,需要算式再補)
a:b:c = 1:3:5 令a=1k b=3k c=5k
原=[1k.3k.5k]=15[k.k.k]= 300
-> k=20
代回 a=20 b=60 c=100#

7.設a,b為自然數,且a＞b,若(a,b)=6且6a^2-13ab+5b^2=0,求a,b二數各為多少
6a^2-13ab+5b^2=0
解得a:b=1:2 又(a,b)=6
得a=6 b=12#

8.設n為正整數且n≦240,若(n,120)=8,則符合條件的n有多少個
8=2^3
120=2^3*3*5

(n,120)=8
故n需有8的因數,但不可有120其他因數2*3*5
所求240≦8*x x不能有2.3.5的因數
故x=7.11.13.17.19.23 共6個#

9.有一個六位自然數abcxyz,將這個數乘以6之後成為xyzabc,求此自然數
令a*100+b*10+c=E x*100+y*10+z=T
由題意 6(E*1000+T)=E+1000T
-> 5999E=994T
-> E/T=994/5999
-> =142/857
故 abcxyz=142857#

試證:若(h,k)=1,則(h±k,h*k)=1
這題就請另請高明了,無奈> <


有些解方程或用到上面原理的式子有點省略,真的需要再說我在列給你

Answer 2

steven:
你還真的錯了。
"若h&k皆是奇數則h與k中必有一是質數"這句話不對。
(15,77)=1，兩者皆奇數，兩者皆非質數。

Answer 3

試證:若(h,k)=1,則(h±k,h*k)=1
ｈｋ＝（ｈ＋ｋ）ｋ－ｋ^2＝（ｈ＋ｋ）ｈ－ｈ^2
則（ｈｋ,ｈ＋ｋ）＝（ｈ＋ｋ,ｋ^2）＝（ｈ＋ｋ,ｈ^2）＝ｄ
令ｄ為最大公因數，ｄ整除ｋ^2和ｈ^2，所以ｄ整除ｈ和ｋ，ｄ＝１，証畢。

Answer 4

你幹嘛要幫他做功課呀?

Answer 5

補充一下
試證 若(h,k)=1,則(h±k,h*k)=1
1.因為(h,k)=1 所以h&k兩數互質
2.又因為h&k互質所以hk的因數只有h或k或是兩數的因數與倍數
3.若h&k皆是奇數則h與k中必有一是質數(因為(h,k)=1 ),所以hk的因數只會有h&k&1,又 h±k 不會等於h,k,1 或是hk,所以(h±k,h*k)=1
4.若h&k兩數皆為偶數則與(h,k)=1 矛盾,所以hk兩者不皆為偶數
5.若兩數一為奇數一為偶數則h±k不等於h,k,2(hk的因數)所以(h±k,h*k)=1

得證
(應該是這樣,錯了別打我)