〔數論加三角〕正整數邊長的三角形面積

Question

證明任意正整數邊長的三角形，如果其面積  A  也同時為正整數，則  A  必為  6  的倍數。舉例：大家都知道的三角形 3-4-5 的面積是 6，嗯，是 6 的倍數。

Answer 1

利用海龍公式證這一題
先證它為3的倍數
因為(2,3)=1
所以在面積為整數時,只要證出(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)為3的倍數就行
當a,b,c被3除的3個餘數相等時,a+b+c為3的倍數
當3個餘數都不相等,a+b+c也是3的倍數
當為(1,1,2),(2,2,1)時,a+b-c是3的倍數,當為(0,1,1),(0,2,2)時,a-b+c為3的倍數
或許你會說那如果是(0,0,1),(0,0,2)時,不就不合嗎
當出現這兩種情況時,(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=1*2*1*1(mod 3) or 2*1*2*2(mod 3)=2(mod 3)
但是一個完全平方數除以3的餘數不是0就是1,sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))顯然不是一個整數
那1/4*sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))當然不是整數,與面積為整數矛盾
所以符合題目要求的三角形面積必為3的倍數

已經證明了是3的倍數,接下來證是2的倍數
易知a,b,c要為2奇1偶or全偶,面積才會是整數
設(a+b+c)/2=w,(a+b-c)/2=x,(a-b+c)/2=y,(-a+b+c)/2=z
三角形面積就是sqrt(w*x*y*z)
在面積為整數時,只要證出w*x*y*z為2的倍數就行
若為2奇1偶,設a,b為奇數,c為偶數
易知x+y=奇,x+z=奇,y+z=偶
可推出x=偶,y和z=奇......成立
若為全偶,
if a,b,c中最少有1個是4的倍數,易證成立
else,可推出w+x+y+z=a+b+c=2*一個奇數,它是2的倍數,但不是4的倍數
又w,x,y,z要都是奇數才有可能不成立
則它們除以4的餘數是1,1,1,3 or 1,3,3,3
相乘後=2(mod 4),不會是完全平方數!!
所以符合題目要求的三角形面積必為2的倍數
證出了當a,b,c為整數且面積亦為整數時,面積是6的倍數

2005-07-08 10:58:41 補充：
喔...對,感謝幫我挑錯

Answer 2

嗯..剩下的想不出來了，先刪掉好了，
To星魂：w+x+y+z=a+b+c，你是要寫w+x+y+z=2(?+?+?)吧，且?+?+?為奇數？..其他應該沒什麼問題了吧^^

2005-07-10 14:56:37 補充：
Copestone要求好嚴格，雖然懂意思但文字表達不夠嚴僅，不過剩0天了，星魂沒什麼時間改了吧~@@真可惜

Answer 3

克兄的說法有問題
用最小的三四五來看
我們把3 4 5 為三邊的三角形
"假裝不知道"他是直角三角形
把五躺平
我們可以發現 高是 12/5
所以符合題目的三角形若切割成兩個直角三角形時
並不能保證其高是整數

以 3 4 5 來看
會變成
3 12/5 9/5 和 4 12/5 16/5 兩個直角三角形

Answer 4

這種三角形絕對是存在的，你只要把兩個整數邊直角三角形拼在一起就好了。例如5-12-13的直角三角形結合12-16-20的直角三角形，變成13-21-20的三角形，面積為126。記得我很久以前小小的研究過這種三角形，還發問過，不過沒這麼一般化。Copestone該不會想證明這種三角形必然可以切成兩個整數邊直角三角形吧？

Answer 5

用海龍推?

2005-07-05 08:40:00 補充：
abc同為偶數的情況還是沒有証明呀
把模4的可能寫一寫發現A模2不為0
就說這情況不會發生...

Answer 6

A = ab sin C 那來的？不是還有 1/2 麼？

2005-06-26 15:38:20 補充：
A = ab sin C
因為所有A要整數
C一定是90, 30, 150<--1
－－－
上面的推理完全不對，sin C 不能為分數麼？如 1/3, 1/4, 2/3, 3/5, 2/7, ...隨便舉例就一堆，你沒有證明你已經排除過些可能了，單純 A 為整數加上這一條式子是推不出來的，你必須利用整個三角形的性質。

2005-07-04 08:53:00 補充：
我同意菜菜菜子，Xie 的第二部份證明還不完整。我也沒有想過單以同餘的方式，最難的部份 Xie 卻一筆帶過了。

2005-07-05 01:58:27 補充：
To Xie: 你一堆符號寫反了，如 6|A 寫成 A|6。

Answer 7

to:無言的風...題目上是限制三角形的三條邊以及面積都為正整數的情形下
，A會屬於六的倍數啦...

Answer 8

那邊長 8,8,8 呢? 面積不是16√3嗎