國中進階因式分解及證明題，集思廣益

Question

我想到兩種分解方式，不知各位有什麼想法嗎？我想集思廣益是增進思考的不錯方式。

(1) x^5+x^4+1

(2) 今有實數A、B、C，已知A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA=0，試證明A=B=C。

Answer 1

（１）
原式
＝ｘｘｘｘｘ＋ｘｘｘｘ＋ｘｘ－ｘｘ＋１
＝（ｘｘｘｘｘ－ｘｘ）＋（ｘｘｘｘ＋ｘｘ＋１）
＝ｘｘ（ｘ－１）（ｘｘ＋ｘ＋１）＋［（ｘｘｘｘ＋２ｘｘ＋１）－ｘｘ］
＝（ｘｘｘ－ｘｘ）（ｘｘ＋ｘ＋１）＋（ｘｘ＋ｘ＋１）（ｘｘ－ｘ＋１）
＝（ｘｘ＋ｘ＋１）（ｘｘｘ－ｘ＋１）

（２）
２＊原式
＝（Ａ－Ｂ）^２＋（Ｂ－Ｃ）^２＋（Ｃ－Ａ）^２
＝０
由此可得證。

2005-07-02 12:57:12 補充：
０＝ｘｘ－ｘｘ，這樣才能分組作因式分解

Answer 2

因式分解難就是難在這一步了..

Answer 3

請問一下 α∥β–γ∥δ-----ｘｘｘｘｘ＋ｘｘｘｘ＋ｘｘ－ｘｘ＋１
裡的xx-xx是從哪裡來的

2005-07-02 13:43:36 補充：
可是題目沒有這個東西怎麼可能出現呢

Answer 4

TO "博"學多"聞"：您第三行的式子有出現問題，何處可得知A^2=AB、B^2=BC、C^2=CA？在等式中，是平均的概念，不能將等式左右各項當作相同的。

2005-07-02 14:18:35 補充：
TO 西瓜：您的概念或許不是很清楚，雖然題目沒有提到，但是只要能夠使式子經過計算後與原式相等，怎麼變都行，而且這種方法需要思考很周密，就像幾何作輔助線一樣困難。

2005-07-02 14:19:09 補充：
TO 西瓜：您的概念或許不是很清楚，雖然題目沒有提到，但是只要能夠使式子經過計算後與原式相等，怎麼變都行，而且這種方法需要思考很周密，就像幾何作輔助線一樣困難。

Answer 5

關於第2題我有較簡單的方法，已知A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA=0，移項後得A^2+B^2+C^2=AB+BC+CA
→得A^2=AB、B^2=BC、C^2=CA，→B=A、B=C、A=C→A=B=C