＃互質的自然數之和

Question

試證：每個大於 6 的自然數 n , 都可以表示為兩個大於 1 且互質的自然數之和.

Answer 1

(1)如果n是奇數，分成(n+1)/2和(n-1)/2，必互質。
(2)如果n是偶數，且模4餘0，分成(n+2)/2和(n-2)/2，必互質。
(3)如果n是偶數，且模4餘2，分成(n+4)/2和(n-4)/2，必互質。

證明：
(1)令n=2k+1，k為整數且k≧3，則(n+1)/2=k+1，(n-1)/2=k，兩數之和=n且都大於1，根據輾轉相除法的原理，(k+1,k)=(k,1)=1，故互質。
(2)令n=4k，k為整數且k≧2，則(n+2)/2=2k+1，(n-2)/2=2k-1，兩數之和=n且都大於1，根據輾轉相除法的原理，(2k+1,2k-1)=(2k-1,2)=1(因為2k-1為奇數，不可能是2的倍數)，故互質。
(3)n=10時，可分成3和7，互質。
令n=4k+2，k為整數且k≧3，則(n+4)/2=2k+3，(n-4)/2=2k-1，兩數之和=n且都大於1，根據輾轉相除法的原理，(2k+3,2k-1)=(2k-1,4)=1(因為2k-1為奇數，不可能是4或2的倍數)，故互質。
得證。

2005-06-23 14:42:52 補充：
看太快了吧？dd兄，哥德巴赫猜想是說兩個質數，而他問的是兩個互質的數。

2005-06-23 15:19:58 補充：
差點算錯，沒注意到n是偶數時，還要分成兩種情形，還以為分成差2的兩整數就會互質。