一題有規率的數學題

Question

(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)+1=???(以a^n表示)
^^"有聽老師講過但忘了

Answer 1

這一題我寫過了..原式可以=[(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)+1]/2-1
=[(2^2-1)2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)+1]/2-1
=[(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)+1]/2-1
=[(2^8-1)(2^8+1)(2^16+1)+1]/2-1
=[(2^16-1)(2^16+1)+1]/2-1
=[2^32-1]+1/2-1
=2^32/1
=2^32

Answer 2

這是求(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^16+1)+1嗎？
當a=1時，該式=2*2*2*2*2+1=33
當a≠1時
令X=(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^16+1)
則(a-1)X=(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^16+1)
=(a^2-1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^16+1)
=(a^4-1)(a^4+1)(a^8+1)(a^16+1)
=(a^8-1)(a^8+1)(a^16+1)
=(a^16-1)(a^16+1)
=a^32-1
總之就是不斷用平方差公式。
因此X=(a^32-1)/(a-1)
再加1就變(a^32+a-2)/(a-1)
以a=2代入，就是2^32啦！