比例式 值的問題

Question

設 a , b , c 互不相等 , 且( a - b ) : ( b - c ) : ( c - a ) = X : Y : Z
則 X + Y + Z 的值為何? Ans: 0
除了自己假設三個不同的數代入abc之外,要用算式該怎麼解呢?

Answer 1

令
a-b=Xt
b-c=Yt
c-a=Zt
三式相加，(a-b)+(b-c)+(c-a)=(X+Y+Z)t，0=(X+Y+Z)t
t=0或X+Y+Z=0
但是若t=0，則a-b=b-c=c-a=0
a=b=c，與假設矛盾，
故X+Y+Z=0

Answer 2

依比例式假設:
a-b=Xt.....第1式
b-c=Yt.....第2式
c-a=Zt.....第3式

第1式+第2式=a-c=Xt+Yt
又第3式中,c-a=Zt,所以a-c=-Zt
a-c=Xt+Yt=-Zt
移項可得 Xt+Yt+Zt=0
提出t, t(X+Y+Z)=0,
其中t不等於0,所以 X+Y+Z=0