〔高中數學〕一對一對相乘的個數

Question

設 n 為一正整數，Sn = {n2 + 1, n2 + 2, ..., (n + 1)2}。請問由 Sn 內的任意兩個相異元素相乘所得的數一共有多少個？舉例：S2 = {5, 6, 7, 8, 9}5 × 6 = 6 × 5 = 30,5 × 7 = 7 × 5 = 35,5 × 8 = 8 × 5 = 40,5 × 9 = 9 × 5 = 45,6 × 7 = 7 × 6 = 42,6 × 8 = 8 × 6 = 48,6 × 9 = 9 × 6 = 54,7 × 8 = 8 × 7 = 56,7 × 9 = 9 × 7 = 63,8 × 9 = 9 × 8 = 72,一共 10 個。

Answer 1

若可以找到乘積一樣
設n^2+1<=w 且w*z=x*y
易知z-w<=2*n......(1)
設(w,x)=r
則可設w=a*r,x=b*r,(a,b)=1
因為w:x=a:b
所以y:z=a:b
可設y=a*s,z=b*s
易知b>=a+1,s>=r+1
此時z-w=b*s-a*r>=(a+1)*(r+1)-a*r=a+r+1
又a+r>=2*(sqrt)(a*r)=2*(sqrt)(w)>2*(sqrt)(n^2)=2*n
所以z-w>=a+r+1>2*n+1,與(1)矛盾
所以找不到乘積相等的
所以一共是2n^2+n種情況

Answer 2

江仔
要算的話裡面也有2n+1個數...

Answer 3

我現在能確定的是：
乘積個數至多是n(2n+1)，至少是4n-1。
(1)因為有2n+1個元素，所以最大就是C(2n+1,2)=2n*(2n+1)/2=n(2n+1)
(2)假設集合裡最小的元素是a，最大是b，則a分別與其他2n個元素相乘可得2n個相異乘積，b分別與其他2n個元素相乘也可得2n個相異乘積，這4n個乘積只有ab是重複的(所以扣1個)，且根據這(4n-1)個乘積的大小關係(註)，可知它們都是相異的，故至少是4n-1。
註:
a(a+1)
2005-06-22 21:28:46 補充：
這題對我還是太難，這個點數還真難賺，我還是去幫國中生算因式分解好了。

Answer 4

<解答部分>
∵Sn的元素中 共有n^2 + 1, n^2+ 2, ..., (n + 1)^2 有2n+1個數
而若有k個數則可有k(k-1)/2個"任意兩個相異元素相乘所得的數"
且k=(2n+1)代入k(k-1)/2 ∴得(2n+1)*2n/2=(2n+1)*n=2n^2+n#
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<證明部分：不可能會有很多對都可以給出相同的乘積>
補充Copestone說法：是否有"很多對都可以給出相同的乘積"
首先設此集合Sn有四個相異元素(n^2+a).(n^2+b).(n^2+c).(n^2+d)
且令(n^2+a)(n^2+b)=(n^2+c)(n^2+d)
展開得n^4+(a+b)n^2+ab=n^4+(c+d)n^2+cd
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關係式：1≦b 則可列出範圍(知當n=1時 a.b.c.d不存在)：
4≦a≦2n+1　1≦b≦2n-2　2≦c≦2n-1　3≦d≦2n
4≦ab≦4n^2-2n-2　6≦cd≦4n^2-2n
5≦a+b≦4n-1　5≦c+d≦4n-1
-4n^2+2n+4≦ab-cd≦4n^2-2n-8　-4n+6≦c+d-a-b≦4n-6
-------------------------------------------------------------------------------
[1~]n^2的係數(a+b)和(c+d)"如果不相等"
可以知ab-cd=(c+d-a-b)n^2
但(c+d-a-b)必是整數 n^2也是整數
∴(ab-cd)也一定是整數 且為n^2的整數倍
也就是說(a+b)n^2+(ab/n^2)n^2=(c+d)n^2+(cd/n^2)n^2
-------------------------------------------------------------------------------
[2~]n^2的係數(a+b)和(c+d)"如果相等" 則ab=cd
所以可以得知a+b=c+d ab=cd
不妨令b=c+d-a代入ab=cd 得ac+ad-a^2=cd 得(a-c)(a-d)=0
所以a-c=0或a-d=0 a=c或a=d 但又說a.b.c.d相異
即知不可能會有"很多對都可以給出相同的乘積"

2005-06-28 08:44:04 補充：
我最後就證不下去了 還是星魂卡厲害

2005-06-28 09:55:17 補充：
喔~謝謝 終於瞭解了

Answer 5

To 江仔：答案錯了以外，推理也有問題，你沒有慮所有可能情形，你怎知有沒有可能在集合內，有很多對都可以給出相同的乘積？請自行檢查錯誤。

2005-06-23 01:31:48 補充：
To 豐：你說：又如果n為任意數 可知a+b=c+d ab=cd
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任意給定你一個 n 是沒錯，然而要有 (n^2+a)(n^2+b) = (n^2+c)(n^2+d) 的 a, b, c, d 就要與 n 有關，你解出來是
(a+b-c-d)n +ab - cd = 0。
就這樣而已，你不能兩邊把 n 約掉，那是給定 n 後 a,b,c,d 要滿足的方程，所以 a,b,c,d 不可以被看成常數，變動 n，能滿足方程的 a,b,c,d 就會改變。當然 a+b=c+d 及 ab=cd 的 (a,b,c,d) 永遠是一個解，可是問的正是有沒有其他解．．．

2005-06-23 01:42:31 補充：
To 豐：事實上，你也沒有用足所有給你的條件。由你的假設，你就知道 a > 0, b >0, c > 0, d > 0 了。而且由於相異實數有分大小，所以你可以不失一般性的設 a < b < c < d。你的問題就變成，n^2+d < (n+1)^2 是否有可能？你說不可能，卻沒有給證明。如果有可能，那你原先數的數目就不對了。

2005-06-28 09:23:13 補充：
再補充一下：
由於 ad = bc
兩邊減去 ac 得: a(d - c) > (b - a)c > (b - a)a
所以 d - c > b -a。
由於都是整數,所以 d + a - c - b ≧ 1

Answer 6

差為=2n
所以 答=C(2n,2)
C(2n,2)為排列組合2n個取2個之組合數