關於高斯符號的問題，為何不矛盾？

Question

首先，對於任意實數a而言，a-1＜[a]≦a這應該沒錯，
那麼，a分別以(m-2)/n和m/n代入(m,n為任意正整數)，可得
(m-2)/n-1＜[(m-2)/n]≦(m-2)/n-----(1)
m/n-1＜[m/n]≦m/n-----(2)
現在，我想證明[(m-2)/n]≦[m/n]
用反證法，
假設[(m-2)/n]＞[m/n]
引用(1)、(2)兩式的部份結果，(m-2)/n≧[(m-2)/n]＞[m/n]＞m/n-1
m/n-1＜(m-2)/n，同乘以n(n是正整數，不等號方向不變)
m-n＜m-2
n＞2
咦！怎麼沒有矛盾？
你或許會說n本來是"任意"正整數，現在n≠1且n≠2，這就是矛盾。
可是，這跟我過去所學的反證法，似乎不太一樣，我不能接受。
我寧可相信我過程中哪裏寫錯了，請問是哪裡出問題？
況且，即使n>2，[(m-2)/n]＞[m/n]還是不成立吧？

這樣我知道為何我找不出矛盾了。
其實我在課堂上沒學過高斯符號，又沒有自己去找書來看，所以對它所知極微，所以，Copestone兄，能否解釋一下何謂"任意正整數集合都有最小正整數"，並證明我要證明的事項？謝謝！

Answer 1

把 m = 4, n = 3 代入你的推理過程就是：2/3 ≧ 0 ．．．(1)1 > 1/3 ．．．(2)想證明 1 ≧ 0。用反證法，於是假設 0 > 1 〔有可能是錯誤的假設〕從 (1), (2) 及假設可得：2/3 ≧ 0 > 1 > 1/3所以〔從傳遞律〕，2/3 > 1/3，也就是說 3 > 2，你問怎麼會這樣？可是為什麼「這個特殊的結果」要有矛盾？2/3 > 1/3 本來就是恆等式〔當 n > 2 時〕，你只是在中間插入 0 > 1 這錯誤的句子，但你問的卻是 2/3 > 1/3 是否矛盾。還是那句，這是重點：找出矛盾就證明了原來的句子。但是推不出矛盾，卻只代表了你找不出矛盾，無法對句子作出真假的判斷，沒有其他更多的含意。－－－首先，回顧一下 [a] 的定義：[a] = 所有小於或等於 a 的整數之中最大的。用符號的話，令 A(a) = {n 為整數：且 n ≦ a}，則[a] = max{n：n 屬於 A(a)}〔我們能如此定義的原因是因為任何有上限的非空整數集合必有最大的元素。當然其對偶命題也是成立的，即任何有下限的非空整數集合，必有最小的元素。此命題又可簡化為對自然數系統的特性描述，即任意由自然數組成的非空集合必有最小的元素，很容易證明這個 well-ordering principle 是與數學歸納法等價的，例如，可看 http://www.math.uwo.ca/~fcass/courses/Mathematics310a_04/MathInduction.pdf〕給定 c > 0, 我們有 A(a + c) = {n 為整數：且 n ≦ a + c}。 既然 c > 0，且 n ≦ a，則 n ≦ a + c。所以任何 A(a) 之元素必定為 A(a + c) 的元素。因此，A(a) 中的最大元素必定是 A(a + c) 的元素。因此 [a] ≦ [a + c]。 －－－我們證明了對任意 c > 0, [a] ≦ [a + c]。在你的式子中，設 a = (m-2)/n, c = n/2，便可得 [(m-2)/n]≦[m/n] 。

2005-06-15 00:15:03 補充：
很簡單，推不出矛盾，只代表你找不出矛盾，而非原來的句子為真。

Answer 2

(m-2)/n-1＜[(m-2)/n]≦(m-2)/n-----(1)
m/n-1＜[m/n]≦m/n-----(2)
這兩個式子是對的應該無庸置疑
由(1),(2),以及可得(m-2)/n-1＜[(m-2)/n]≦[m/n]≦m/n也不會出錯
問題就在於你假設[(m-2)/n]≦[m/n]的相反
[(m-2)/n]＞[m/n]
造成得到推論是(m-2)/n≧[(m-2)/n]＞[m/n]＞m/n-1 就出錯了
因為這是不等式，如果要將兩式合併一定要確定合併的連結關鍵正確，
否則會出現模擬兩可的答案

舉個例子來說
0＜x≦3
2＜y≦5
則會有下列兩種方向
1.x＜y
可得0＜x＜y≦5，明顯成立
2.y＜x
可得2＜y＜x≦3，也明顯成立
所以不管是x＜y或y＜x都可以得到不矛盾的解答
因此不等式在證明或推導的時候
不可以使用『尚未確定』的條件來進行推導
更何況是假設矛盾囉～

Answer 3

可是，n>2時，[(m-2)/n]＞[m/n]還是不成立呀！

2005-06-15 00:20:39 補充：
Copestone兄：
不是這樣的。以你所說的例子，應該說我想要證明2/3>1/3，所以我用反證法，假設2/3<1/3，結果，我卻推出0<1，這.....怎會這樣？為何我不是推出1>0呢？

Answer 4

在n>2時
這個式子m/n-1＜(m-2)/n是成立的
不妨實際代值進去看看

是你找矛盾的方向錯誤了
再努力看看