〔數論〕各元素分別除盡其總和之集合

Question

對 n ≧ 3 的正整數，請找出一個以  n  個相異正整數所組成的集合，使得(1) 集合內的各元素都可以除盡它們的總和。(2) 除了這集合本身外，任何包含不少於 2 個元素的子集合都不滿足條件 (1)。

再強調一次，是對「所有」 ≧ 3 的正整數 n，找出一個能符合上面描述的集合。

Answer 1

{1,2,3}
{1,3,8,12}
{1,4,15,40,60}
{1,5,24,90,240,360}
{1,6,35,168,630,1680,2520}
怎麼証明呢qq

2005-06-13 20:37:32 補充：
是可以証明(2)啦
不過那個集合的通式很難寫出來qq

2005-06-13 22:47:45 補充：
是這樣嗎?
我懶得去找通式了

我的想法是
從大的開始找
第一個找n!
的1/2
再來1/3
所以就剩1/6
如果n!的1/6是1就結束(n=3)
不然就找1/8
所以剩下是1/24
如果1/24是1就結束(n=4)
不然就找1/30
所以剩下1/120
如果1/120是1就結束(n=5)
不然就找1/144
所以剩下1/720
如果1/720是1就結束(n=6)

阿~寫著寫著就看出規律了
第i次找1/(i)!-1/(i+1)!
所以第i次找完就剩1/(i+1)!

那....明天再寫答案好了

2005-06-14 09:16:14 補充：
對大於2的正整數 n令 ai = n![1/i!-1/(i+1)!], 1≦i≦n-1an = 1 = n!/n!顯然 ai 亦為正整數則 A = {ai | 1≦i≦n}即為所求之集合(1)Σ1≦i≦n ai=n![(1/1!-1/2!)+(1/2!-1/3!)+...+(1/(n-1)!-1/n!)+1/n!]=n![1]=n!n!/ai=1/[1/i!-1/(i+1)!]=1/[(i+1)/(i+1)!-1/(i+1)!]=1/[i/(i+1)!]=(i+1)!/i所以 ai | n!(2)假設存在元素個數不少於2的真子集B滿足(1)根據良序原理我們可以令 k = min {1≦i≦n-1 | ai 屬於B}若k=1因為B是真子集
所以 Σai屬於B ai < Σk≦i≦n ai
但是 n!/2=a1 | Σai屬於B ai
所以 Σai屬於B ai = n!/2
所以 B = {a1}
矛盾
所以 k>1ak=n![1/k!-1/(k+1)!]=n![(k+1)/(k+1)!-1/(k+1)!]=n![k/(k+1)!]=k[n!/(k+1)!]Σk＜i≦n ai=n![(1/(k+1)!-1/(k+2)!)+...+(1/(n-1)!-1/n!)+1/n!]
=n!/(k+1)!因為 k>1 所以ak=k[n!/(k+1)!]＞n!/(k+1)!=Σk＜i≦n aiak＞Σk＜i≦n aiak＋ak＞ak＋Σk＜i≦n ai2ak＞Σk≦i≦n ai但是 Σai屬於B ai ≦ Σk≦i≦n ai < 2ak所以 ak 不可能整除 Σai屬於B ai矛盾

Answer 2

已經有答案的阿，我以為是無解耶
我做（１）的時候我是先找隨便一個Ｘ，然後找它的因數，再找因數加起來可以等於Ｘ的
然後作（２）發現，好像有差１或少１的感覺
我就覺得這是無解的感覺｜｜｜

Answer 3

好有規律啊..........

Answer 4

千里兄：
如果他要求集合恰有4個元素呢？

2005-06-12 18:56:50 補充：
你把所有的平凡解都排除掉了，這題可真難。我終於知道你為何要規定除了這集合本身外，任何包含不少於 2 個元素的子集合都不滿足條件(1)了。因為：{1,2,3}{1,2,3,6}{1,2,3,6,12}{1,2,3,6,12,24}{1,2,3,6,12,24,48}......

Answer 5

完全數？沒有說從 1 加到 n 啊。

2005-06-11 20:52:07 補充：
對的，這是 n = 3 時的一個例子。

2005-06-12 15:01:43 補充：
我舉一個 n = 4 時的例子：{1, 3, 8 12｝，總和為 24，是每一個元素的倍數，可是其他任何一個不少於 2 個元素的子集合，都不行。如 {1, 3, 8} 加起來是 12，卻不是 8 的倍數。其他你可以這樣完全去檢查，直接證明也可以。

2005-06-13 16:44:35 補充：
你們總是喜歡把一個簡單的問題想得複雜了。

2005-06-13 16:49:01 補充：
不過 dd 好像發現了什麼有趣的事物。

Answer 6

完全數?? @.@